Характеристическое уравнение
к²+2к+5=0
к=-1±2i
у общее однородное =е⁻ˣ*(с₁cos2x+c₂sin2x)
у частное неоднородное= (Аcosx+Вsinx)
y' ч.н.=Вcosx-Аsinx
y'' ч.н.=-Acosx-Bsinx
подставим у, у', y'' в уравнение. получим
-Аcosx-Вsinx+
2*(Вcosx-Аsinx))+
5*(Аcosx+Вsinx)=-2sinx
приравняем коэффициенты при sinx
-2=3А-В
при cosx
-А+2В+5А=0, откуда В=-2А, подставим в первое уравнение
-2=3А+2А, А=-2/5; тогда В=4/5
Уобщ. неоднор. =уо.о.+уч.н.
Уо.н.=е⁻ˣ*(с₁cos2x+c₂sin2x)-(2/5)cosx+(4/5)sinx
