Вычислите размер комнаты: 2 м в длину, в 2 раза короче и 1/2 ширины от высоты.

1)  Находим первую производную функции:
y' = -3x²+12x+36
Приравниваем ее к нулю:
-3x²+12x+36 = 0
x₁ = -2
x₂ = 6
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = -33
f(6) = 223
f(-3) = -20
f(3) = 142
ответ:   fmin = -33, fmax = 142
2)  
a) 1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = - 6x+12
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
- 6x+12 = 0
Откуда:
x₁ = 2
(-∞ ;2)   f'(x) > 0   функция возрастает
(2; +∞)    f'(x) < 0функция убывает
В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 2 - точка максимума.
б)  1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = -12x2+12x
или
f'(x) = 12x(-x+1)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
12x(-x+1) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = 1
(-∞ ;0)   f'(x) < 0  функция убывает 
(0; 1)   f'(x) > 0   функция возрастает
 (1; +∞)   f'(x) < 0   функция убывает
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1 - точка максимума.

3. Исследуйте функцию с производной f(x)=2x^2-3x-1
1.  D(y) = R
2.  Чётность и не чётность:
f(-x) = 2(-x)² - 3*(-x) - 1 = 2x² + 3x - 1 функция поменяла знак частично. Значит она ни чётная ни нечётная
3.  Найдём наименьшее и наибольшее значение функции
Находим первую производную функции:
y' = 4x-3
Приравниваем ее к нулю:
4x-3 = 0
x₁ = 3/4
Вычисляем значения функции 
f(3/4) = -17/8
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 4
Вычисляем:
y''(3/4) = 4>0 - значит точка x = 3/4 точка минимума функции.
4.  Найдём промежутки возрастания и убывания функции:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. 
Первая производная равна
f'(x) = 4x-3
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
4x-3 = 0
Откуда:
x₁ = 3/4
(-∞ ;3/4)   f'(x) < 0 функция убывает
 (3/4; +∞)   f'(x) > 0   функция возрастает
В окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3/4 - точка минимума

В Оружейной палате Московского Кремля хранится великолепная реликвия веков Шапка Мономаха. С давних времен все русские самодержцы венчались на царство, надевая на голову Шапку Мономаха. Она являлась символом царской власти. Какая же древняя традиция связана с этой Шапкой и почему она являлась знаком царской власти?
Многие связывают ее с именем русского князя Владимира Мономаха и считают, что она с самого начала принадлежала именно ему. Это не совсем так. Эта Шапка принадлежала византийскому императору Константину, но в Россию она попала благодаря князю Владимиру Мономаху.
Владимир Мономах по матери был внуком византийского императора Константи
на Мономаха. У него было три имени: одно княжеское — Владимир, другое крестное — Василий, третье по деду со стороны матери — Мономах.
Князь Владимир Мономах оставил по себе в истории громкую память. Он присоединил к России много новых земель, успехи Мономахова оружия так прославили этого боевого князя на востоке и на западе, что имя его гремело во всем мире. Вспомнив, как его знаменитые предки воевали с греками и одержали крупные победы, князь Владимир Мономах тоже решил воевать с Царьградом (Константинополем) и послал туда многочисленное войско. Но греки не захотели воевать с русскими и, чтобы умилостивить русского князя прислали ему с митрополитом богатые дары: крест из животворящего дерева, золотую цепь, чашу сердоликовую, из которой пил римский цезарь Август, и царский венец, т. е. шапку УМЕРШЕГО к тому времени императора Константина Мономаха, деда князя Владимира.