2. На доске 100 х 100 лежит 800 фигурок Г-тетрамино вида уголка из четырёх клетоктак, чт о они не перекрываются, и любая такая фигурка занимает ровно 4 клетки доски (фигурки можно поворачивать и переворачивать). Дока-
жите, что на доску можно положить ещё хотя бы одну фигурку Г-тетрамино так, чтобы они все ещё не
перекрывались.

Дорогой ученик,

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать метод исключения. Давайте выполним несколько шагов:

Шаг 1: Узнаем общее количество клеток на доске:
На доске 100 х 100 лежит 100 * 100 = 10,000 клеток.

Шаг 2: Узнаем, сколько клеток занимают 800 фигурок Г-тетрамино:
Каждая фигурка Г-тетрамино занимает 4 клетки. У нас есть 800 фигурок, поэтому все фигурки Г-тетрамино займут 4 * 800 = 3200 клеток.

Шаг 3: Вычтем количество занятых клеток из общего количества клеток, чтобы узнать, сколько клеток осталось свободными:
10,000 - 3200 = 6800 клеток.

Шаг 4: Узнаем, сколько фигурок Г-тетрамино вида уголка из четырех клеток можно разместить на оставшихся свободных клетках.
Фигурка Г-тетрамино занимает 4 клетки, поэтому мы можем разместить на свободных клетках 6800 / 4 = 1700 фигурок Г-тетрамино.

Шаг 5: Проверяем, можно ли разместить еще одну фигурку Г-тетрамино, чтобы она не перекрывалась с уже размещенными фигурками.
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны рассмотреть все возможные варианты и учесть ограничения.

Варианты для размещения одной фигурки Г-тетрамино:
- Мы можем разместить фигурку в углу доски (например, в клетке (1,1)). В этом случае, она не перекроет никакие другие фигурки.
- Мы можем разместить фигурку в какой-то клетке на первой строчке (например, в клетке (1,2)). В этом случае, ниже и левее размещенных фигурок должно быть свободное пространство для размещения других фигурок Г-тетрамино.
- Мы можем разместить фигурку в какой-то клетке на первом столбце (например, в клетке (2,1)). В этом случае, выше и левее размещенных фигурок должно быть свободное пространство для размещения других фигурок Г-тетрамино.

Мы видим, что независимо от того, где мы разместим фигурку Г-тетрамино, в окружающей области каждой клетки размещения должно быть достаточно свободного пространства для других фигурок. Это требование может быть выполнено только в том случае, если свободное пространство вокруг каждой клетки размещения имеет ширину и высоту минимум 3 клетки. Почему это так?

Возможные варианты для окружающей области клетки размещения:
1. Если ширина и высота окружающей области составляют 1 клетку, не будет достаточно места для размещения других фигурок Г-тетрамино.
2. Если ширина или высота окружающей области составляет 2 клетки, мы можем разместить только одну фигурку Г-тетрамино, так как другая фигурка будет перекрываться с первой.
3. Если ширина или высота окружающей области составляет 3 клетки, мы можем разместить только две фигурки Г-тетрамино согласно описанным выше вариантам (уголок или первая строка/столбец). Это трехклеточные участки загружены по максимуму.

Таким образом, мы не можем разместить еще одну фигурку Г-тетрамино, которая не перекрывается с уже размещенными фигурками Г-тетрамино. Все возможные места для размещения уже заполнены.

Ответ: На доску нельзя положить еще одну фигурку Г-тетрамино так, чтобы они все еще не перекрывались.

Надеюсь, этот ответ ясен и понятен. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать. Удачи в учебе!

Ваш учитель