180
Пошаговое объяснение:
Треугольник является прямоугольным, значит, у него два катета a и b, гипотенуза c. По условию одна из сторон 18 (единицу можно выбрать произвольное). Эта сторона будет катетом, в противном случае, если эта сторона гипотенуза c, то из-за ограничения для катетов a<c и b<c максимально возможный периметр также ограничивается. Поэтому наименьший катет, пусть этот катет будет a, выберем как a=18.
Так как треугольник прямоугольный, то верна теорема Пифагора
c² = a² + b² или c² - b²= 18² или (c - b)·(c + b)= 324.
С другой стороны, из условия существования треугольника (другое название - неравенство треугольника) получаем
a + c > b
b + c > a
a + b > c
Из последнего неравенства вытекает, что 18 > c - b.
Теперь рассмотрим (c - b)·(c + b)= 324. Из того, что длины сторон треугольника являются целыми числами (вообще то натуральными числами), то (c - b) и (c + b) также являются натуральными числами.
Обозначим c - b = х. Отсюда c = x + b. Тогда
c+b = 324/x
x+b+b = 324/x
2·b = 324/x - x
b = 162/x - x/2
Отсюда следует, что х - чётное и является делителем 162.
Учитывая 18 > c - b и то, что чем меньше c - b, тем больше периметр, рассмотрим разложение числа 324 на чётные множители: 324=2·162.
Тогда c - b = 2 и c + b = 162. Отсюда c = 82 и b = 80. Ясно, что неравенство треугольника выполняется, оба числа целые.
Проверим утверждение теоремы Пифагора:
18²+80²=324+6400=6724=82².
Значит, все условия выполняются. Тогда максимально возможный периметр равен сумме длин сторон треугольника
P = a + b + c = 18 + 80 + 82 = 180
Пусть x и y - длины катетов, z - длина гипотенузы.
По теореме Пифагора 
Тройка сторон прямоугольного треугольника (x, y, z), где x нечётное, может быть представлена в виде 
.
Но эта тройка будет примитивной, т.е. состоять из взаимно простых чисел, а число 
должно быть нечётным. Нужно найти такие нечётные числа , которые являются делителями числа 18.
Таких чисел всего два - 3 и 9.
Варианты с египетским треугольником понятны: (3, 4, 5) и производные - (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25); (18, 24, 30) и т.д. (умножаем числа тройки на одно и то же число). В случае (18, 24, 30) периметр треугольника будет равен 72.
Но не так сложно найти такие m и n, что 
. Очевидно, что m = 5, n = 4. Отсюда находим примитивную тройку (9, 40, 41).
В нашем случае тройка должна начинаться числом 18 (т.к. периметр должен быть максимальным, то есть известная сторона - это наименьший катет), значит все числа тройки умножаем на 2 и получаем (18, 80, 82).
Периметр такого треугольника равен 18+80+82 = 180.
