решить: 1. Сократите дробь

а) 14а⁴b/49a³b²;

б) 3х/x²+4x;

в) y²-z²/2y+2z ;

2. Представьте в виде дроби:

а) 3х-1/2х + х-9/3х;

б) 1/2a-b - 1/2a+b

3. Решите уравнение:

а) х²/х²-9 = 12х/х²-9

б) 6/х-2 + 5/х = 3

*/ - вместо знака дроби

1. Решение:
а) Для сокращения дроби 14а⁴b/49a³b² нужно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является а³b, поэтому каждое слагаемое мы делим на а³b:

14а⁴b ÷ а³b = 14а^(4-3)b^(1-1) = 14аb

49a³b² ÷ а³b = 49a^(3-3)b^(2-1) = 49b

Итого, дробь сокращается до:

14а⁴b/49a³b² = 14аb/49b = 14а/49

Ответ: 14а/49

б) Для сокращения дроби 3х/x²+4x нужно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является х, поэтому каждое слагаемое мы делим на х:

3х ÷ х = 3

x²+4x ÷ х = x(x+4) ÷ х = x+4

Итого, дробь сокращается до:

3х/x²+4x = 3/(x+4)

Ответ: 3/(x+4)

в) Для сокращения дроби y²-z²/2y+2z нужно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является 2, поэтому каждое слагаемое мы делим на 2:

y²-z² ÷ 2 = (y-z)(y+z) ÷ 2

2y+2z ÷ 2 = 2(y+z) ÷ 2 = y+z

Итого, дробь сокращается до:

(y-z)(y+z)/2(y+z) = (y-z)/2

Ответ: (y-z)/2

2. Представление в виде дроби:
а) Для представления выражения (3х-1)/(2х) + (х-9)/(3х) в виде дроби нужно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем будет 2х * 3х = 6х².

(3х-1)/(2х) = (3х-1)(3х)/2х(3х) = (9х²-3х)/(6х²)

(х-9)/(3х) = (х-9)(2х)/(3х)(2х) = (2х²-18х)/(6х²)

Теперь можно сложить дроби:

(9х²-3х)/(6х²) + (2х²-18х)/(6х²) = (9х²-3х+2х²-18х)/(6х²) = (11х²-21х)/(6х²)

Ответ: (11х²-21х)/(6х²)

б) Для представления выражения (1/2a-b) - (1/2a+b) в виде дроби нужно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем будет (2a) * (2a) = 4a².

(1/2a-b) = (1-2ab)/4a²

(1/2a+b) = (1+2ab)/4a²

Теперь можно вычесть дроби:

(1-2ab)/4a² - (1+2ab)/4a² = (1-2ab-1-2ab)/4a² = (-4ab)/4a²

Ответ: (-4ab)/4a² = -ab/a²

3. Решение уравнения:
а) Для решения уравнения (х²)/(х²-9) = (12х)/(х²-9) нужно привести уравнение к общему знаменателю. Оба числителя уже одинаковые, поэтому оставляем их без изменений:

(х²)/(х²-9) = (12х)/(х²-9)

Теперь можно сократить общий множитель (х²-9):

х² = 12х

Переносим все слагаемые в одну сторону:

х² - 12х = 0

Факторизуем:

х(х-12) = 0

Таким образом, мы получаем два возможных решения:

х₁ = 0
х₂ - 12 = 0
х₂ = 12

Ответ: х₁ = 0, х₂ = 12

б) Для решения уравнения (6/(х-2)) + (5/х) = 3 нужно привести уравнение к общему знаменателю. Общим знаменателем будет (х-2) * х = х²-2х.

(6/(х-2)) = (6х)/(х²-2х)

(5/х) = (5(х-2))/(х²-2х)

Теперь можно сложить дроби и упростить уравнение:

(6х)/(х²-2х) + (5(х-2))/(х²-2х) = 3

(6х + 5(х-2))/(х²-2х) = 3

(6х + 5х - 10)/(х²-2х) = 3

(11х - 10)/(х²-2х) = 3

Перемножаем обе стороны уравнения на знаменатель:

11х - 10 = 3(х²-2х)

11х - 10 = 3х² - 6х

3х² - 6х - 11х + 10 = 0

3х² - 17х + 10 = 0

Можно попробовать решить это квадратное уравнение посредством факторизации или использования квадратного корня, но в данном случае наиболее простым решением будет использование квадратного уравнения:

х = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

В нашем уравнении a = 3, b = -17, c = 10.

х = (17 ± √((-17)² - 4 * 3 * 10))/(2 * 3)

Мы можем упростить √((-17)² - 4 * 3 * 10):

√(289 - 120) = √169 = 13

х = (17 ± 13)/(2 * 3)

х₁ = (17 + 13)/(2 * 3) = 30/6 = 5
х₂ = (17 - 13)/(2 * 3) = 4/6 = 2/3

Ответ: х₁ = 5, х₂ = 2/3