ответ: 
Пошаговое объяснение:
![\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{20+4x+x^2} } } =x^2+4x+8\\x^2+4x+8 = (x+2)^2+4 = t\geq4 \\\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt[]{12+t} } } = t](/tpl/images/1361/5392/9b8b4.png)
Пусть:
Тогда уравнение принимает вид:
Заметим, что если 
корень уравнения 
, то он и корень уравнения:
, действительно:
Найдем все такие корни:
Заметим, что функция 
- монотонно возрастает.
Предположим, что в уравнении существует корень 
, такой, что 
Рассмотрим случай: 
.
Поскольку, - монотонно возрастает, то если для некоторых двух ее аргументов выполнено неравенство: 
, то верно и данное неравенство: 
Из данного утверждения следует, что :
Но 
, то есть мы пришли к противоречию.
Аналогично показывается невозможность утверждения для случая
. Таким образом, других корней помимо нет.
Рассмотрим первое слагаемое (82n). Произведение четного числа на любое другое целое дает нам четное число (правило 2).
Второе слагаемое должно быть нечетным, так как произведение двух нечетных чисел нечетно (правило 1).
И сумма четного и нечетного чисел обязательно нечетна (3), искомое число будет нечетным, что и требовалось доказать!
Примечание:
Необходимые правила:
(1) Если нечетное число умножить на нечетное, то получится тоже нечетное (
).(2) Произведение четного числа на любое натуральное (или целое) всегда будет четным (если умножаем на нечетное:
; если на четное: 
).(3) Если сложить четное и нечетное числа, то получится нечетное число (
).
