Задано координати вершини трикутника АВС , А (1;-1); В(4;3);С(5;1) . Знайти : 1) довжину сторони АВ.
Вектор АВ = (4-1; 3 -(-1)) = (3; 4 ). Модуль равен √(3² + 4²) = 5.
2) рівняння сторін АВ і ВС і їх кутові коефіцієнти ,
Уравнение АВ: (х -1)/3 = (у + 1)/4 это канонический вид.
Угловой коэффициент равен Δу/Δх = 4/3.
Уравнение АВ в общем виде:
4х - 4 = 3у + 3,
4х - 3у - 7 = 0, направляющий вектор равен (3; 4)
Вектор ВС = (5-4; 1 -3) = (1; -2). Модуль равен √(1² + (-2)²) = √5.
Уравнение ВС: (х - 4)/1 = (у - 3)/(-2).
или в общем виде 2х + у - 11 = 0.
Угловой коэффициент равен Δу/Δх = -2/1 = -2.
3) внутрішній кут В в радіанах з точністю до 0,001 ,
Вектор ВА = -АВ = (-3; -4 ).
Вектор ВС = (1; -2 ).
cos B = (-3*1 + (-4)*(-2)) / (5*√5) = 5 / (5*√5) = √5 / 5 = 0,44721.
B = arc cos(√5/5) = 1,107148718 радиан
,
B = 63,43494882 градусов.
4) рівняня медіани АЕ ,
Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.
Е = (В(4;3)+С(5;1)) / 2 = (4,5; 2).
Уравнение АЕ: (х - 1)/4,5 = (у + 1)/2
или в целых числах (х - 1)/9 = (у + 1)/4.
5) рівняня висоти СД та її довжину ,
Высота СД перпендикулярна стороне АВ: 4х - 3у - 7 = 0.
Её уравнение имеет вид 3х + 4у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).
Для определения величины С подставим координаты точки С(5; 1).
СД: 3*5 + 4*1 + С = 0, отсюда С = -15 - 4 = -19.
СД: 3х + 4у - 19 = 0.
6) рівняння прямої що проходить через точку Е паралельно стороні ВС
i точку М її перетину з висотою СД
.
Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны ВС.
2х + у + С = 0, для определения параметра С подставим координаты точки Е(4,5; 2): 2*4,5 + 2 + С = 0, отсюда С = -9 - 2 = -11.
Уравнение 2х + у - 11 = 0.
Точка пересечения решается системой:
2х + у - 11 = 0 х(-3) = -6х - 3у + 33 = 0
3х + 4у - 19 = 0 х(2) = 6х + 8у - 38 = 0
5у - 5 = 0
у = 5/5 = 1, х = (11 - у) /2 = (11 - 1)/2 = 5.
Точка (5; 1). Это координаты точки С.Очевидно, в задании какая то опечатка
