МатБюро Теория вероятностей Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей
Учебник по теории вероятностей
1.4. Сложение и умножение вероятностей
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записывается как A⊂B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A+B)=P(A)+P(B).
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
P(
n
∑
i=1 Ai)=
n
∑
i=1 P(Ai).
Если случайные события A1,A2,...,An образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1. Такие события (гипотезы) используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B).
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).
Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.
Примеры решений задач с событиями
Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
;
Можно много писать о плохой экологии и современном ритме жизни, но, в первую очередь, виноваты в этом мы сами. Ведь для того, чтобы избежать проблем со здоровьем в будущем, нужно начать заботиться о себе в настоящем.
Питайтесь сбалансированно
Бутерброд на завтрак, чашка кофе в обед, а на ужин — тарелка жареной картошки или пельменей — знакомый рацион? Если да, то проблем со здоровьем вам не избежать. Смысл правильного питания не в истязании себя диетами, а в том, чтобы давать организму достаточно необходимых веществ.
Формировать свое меню можно как самостоятельно, так и по рекомендациям врача. И помните: неправильное питание свойственно абсолютному большинству наших современников, но «как все» в этом случае не значит «хорошо».
Высыпайтесь
8 часов сна в сутки — это не выдумка врачей, а суровая необходимость. Конечно, к этому вопросу можно подходить индивидуально: кому-то достаточно 6 часов для того, чтобы прекрасно себя чувствовать, а кто-то и через 10 ощущает усталость. В любом случае, не терзайте себя недосыпами. Даже самые веселые вечеринки или проекты на работе останутся позади, а вот последствия ущерба, нанесенного организму, будут с вами еще очень долго.
Займитесь спортом
Не обязательно ставить олимпийские рекорды или отправляться на пробежку в 6:00 утра. Выберите то, что вам действительно по душе. Это могут быть танцы, верховая езда, коньки, пилатес. Главное проводить активно хотя бы десятую часть свободного времени.
Контролируйте свою половую жизнь
Случайные связи, безответственный подход к контрацепции — все это становится причинами растущих очередей в кабинеты гинекологов и урологов. Клиники, лечащие проблемы мочеполовой системы появляются в крупных городах как грибы после дождя. Это и неудивительно: в век свершившейся сексуальной революции мало кто будет «блюсти честь» до замужества. Да это и не нужно. Для сохранения здоровья достаточно не вступать в половую связь с людьми, в здоровье которых вы не уверены, всегда предохраняться и два раза в год навещать врача, даже если вас ничего не беспокоит.
Ограничьте время за компьютером
Компьютер, телевизор, телефон, планшет, ноутбук и еще десяток приборов окружают нас круглосуточно. Так ли они безопасны, как мы привыкли считать? Конечно, многочасовая работа за компьютером скажется на зрении, но не только на нем. Излучения подобной техники наносят организму человека немало вреда.
Чтобы избежать этого, всегда выключайте приборы по окончании работы, а один-два дня в неделю старайтесь проводить в удалении от них, например, на загородной прогулке.
Своевременно решайте конфликтные ситуации
Накопившиеся усталость и стресс ослабляют организм так же сильно, как сезонный авитаминоз. Поэтому о своем психологическом здоровье также следует заботиться. Старайтесь решать любую конфликтную ситуацию, которая вас затрагивает. Если не получается пережить негативные эмоции самостоятельно, обратитесь к специалисту. Только выбирайте дипломированного врача, практикующего при государстве
Раз в год проходите полный медосмотр
Какой бы ужасной ни была районная поликлиника, как бы многозначительно ни смотрели на вас врачи, как бы ни хамили санитарки, обязательно раз в год проходите полный медосмотр. Это единственная гарантия своевременной диагностики и лечения. Если же вы отправляетесь в больницу лишь при высокой температуре или непереносимой боли, будьте готовы к тому, что врач не просто даст вам нужное лекарство, а назначит еще несколько анализов и обследований.
Сохранение здоровья — задача вполне посильная. Конечно, при современном уровне медицины можно вылечить почти все, но гораздо лучше предотвратить заболевание, чем тратить время и средства на борьбу с ним.
