БУДЬ ЛАСКА ТЬ ІВ КОНТРОЛЬНА
1 Побудуйте відрізки AB і CD і знайдіть координати точки перетину цих відрізків, якщо
A(−1;−3),B(3;1) , C(0;4),D(3;−2)
Виберіть одну відповідь:
1 (−2;0)
2 (2;0)
3 (0;2)
4 (2;−1)
2 У якій чверті лежить точка А (х; у), якщо х > 0, у < 0.
Виберіть одну відповідь:
1 IV
2 I
3 III
4 II
3 У якій чверті лежить точка А (х; у), якщо х < 0, у >0.
Виберіть одну відповідь:
1 III
2 II
3 IV
4 I
4 Дано координати трьох вершин прямокутника АВСD: А (−3; −1), В (−3; 3) і D(5;−1). Знайдіть координати точки перетину діагоналей прямокутника.
Виберіть одну відповідь:
1 (5;3)
2 (1;1)
3 (−4;1)
4 (2;1)
Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x3+3x.
у =-0^3+3*0 = 0,
Результат: y=0. Точка: (0; 0).
Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
-x^3 + 3x= 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с осью Ох:
-x(x^2 – 3) = 0.
Получаем 3 точки: х = 0, х = √3 и х = -√3.
Результат: y=0. Точки: (0; 0), (√3; 0) и (-√3; 0).
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = -3x^2 + 3 = 0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
-3(х^2-1) = 0,
х1 = 1, х2 = -1.
Результат: точки: (1; 2) и (-1; -2).
Интервалы возрастания и убывания функции:
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
На промежутках находим знаки производной
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 0 1 2
y' = -9 0 3 0 -9
• Минимум функции в точке: х = -1,
• Максимум функции в точке: х = 1.
• Возрастает на промежутке: (-1; 1).
• Убывает на промежутках: (-∞; -1) U (1; +∞).
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
Нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:
y'' = -6x = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
x=0. Точка: (0; 0).
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов.
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
• Вогнутая на промежутках: (-∞; 0),
• Выпуклая на промежутках: (0; ∞).
Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соответствующие пределы находим:
• lim -x3+3x, x->+∞ =- ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
• lim -x3+3x, x->-∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:
• lim -x3+3x/x, x->+∞ = -∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует
• lim -x3+3x/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует
Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
• f(-x) = -(-x)3+3(-x) = x3-3x - нет f(-x) ≠ f(x).
• f(-x) = -(-x)3+3(-x)) = -(-x3+3x) – да f(-x)=-f(x), значит, функция является нечётной.
