13. за 24 часа напечатает первая машинистка
за 12 часов напечатает вторая машинистка
15. S Δ = 294 см²
Пошаговое объяснение:
13. Пусть x часов - за столько часов напечатает первая машинистка
х-12 часов - напечатает вторая машинистка (на 12 часов быстрее)
1/x - производительность первой машинистки за один час
1/(х-12) - производительность второй машинистки за один час
1/8 - производительность двух машинисток вместе за один час
Составим уравнение:
1/х + 1/(х-12) = 1/8
8х - 96 + 8х = х² - 12х
х² - 28x + 96 = 0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = (-28)² - 4·1·96 = 784 - 384 = 400
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
x₁ = (28 - √400)/2·1 = (28 - 20)/2 = 8/2 = 4 (часа) - не подходит по условию
x₂ = (28 + √400)/2·1 = (28 + 20)/2 = 48/2 = 24 (часа) напечатает первая машинистка
24 - 12 = 12 (часов) напечатает вторая машинистка
15. Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам.
Примем за 15*х см первый катет, а второй - за 20*х.
Тогда, по теореме Пифагора получим уравнение:
15х² + 20х² = 35²
625х² = 1225
х = √ 1225/625 = √1,96 = 1,4
15*1,4 = 21 см первый катет
20*1,4 = 28 см второй катет
SΔ = (28 * 21)/2 = 588/2 = 294 см²
100² – 1 = 9999
Пошаговое объяснение:
Дополненное условие: Натуральные числа a и b таковы, что НОД(a,b)=1. Какое наибольшее значение может принимать НОД(a+100·b,100·a+b)?
Решение. Обозначим
m = a+100·b, n = 100·a + b, d = НОД(m, n) = НОД(a+100·b,100·a+b).
Теперь умножим m и n на 100:
100·m = 100·a+10000·b, 100·n = 10000·a + 100·b.
Рассмотрим разности:
100·m – n = 100·a+10000·b – (100·a + b) = 9999·b,
100·n – m = 100·b+10000·a – (100·b + a) = 9999·a.
Так как d является делителем чисел m и n, то 100·m – n и 100·n – m также делится на d. Тогда d делит также числа 9999·a и 9999·b.
Но НОД(a,b)=1, то есть числа a и b взаимно просты, поэтому d делит число 9999.
Определим числа a и b. Положим a = 100² – 100 – 1 = 9899, b = 1. Тогда получим
n = 100·(100² – 100 – 1) + 1 = 100·(100² – 1) – 100² + 1 = (100² – 1)(100 – 1),
m = 100² – 100 – 1 + 100 = 100² – 1 = 9999 = d.
