(x²-2x)²+12(x-1)²-1=0
Замена: (x-1)²=t
x²-2x+1=t²
x²-2x=t²-1
(t²-1)²+12t-1=0
t⁴-2t²+1+12t-1=0
t⁴+10t²=0
t²(t²+10)=0
t²=0 или t²+10=0
t=0 t²= -10
t∈∅
Обратная замена: t=(x-1)²
(x-1)²=0
x-1=0
x=1
ответ: 1
3x³+13x²+13x+3=0
Такие уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, т.к. они имеют вид ax³+bx²+bx+a=0. Уравнения данного вида обладают некоторыми свойствами и одно из них то, что у них обязательно есть корень х= -1.
При решении, конечно же можно действовать методом группировки:
3x³+13x²+13x+3=0
(3x³+3)+(13x²+13x)=0
3(x³+1)+13x(x+1)=0
3(x+1)(x²-x+1)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3+13x)=0
(x+1)(3x²+10x+3)=0
x+1=0 или 3x²+10x+3=0
x₁=-1 D=64=8²
x₂=-1/3; x₃=-3
Но, можно сразу воспользоваться вышеуказанным свойством (х=-1) и разделить многочлен 3x³+13x²+13x+3 на х+1
3x³+13x²+13x+3 | x+1
3x³+3x² 3x²+10x+3
10x²+13x
10x²+10x
3x+3
3x+3
0
Таким образом, без громоздких преобразований получаем произведение множителей (x+1)(3x²+10x+3)=0
Можно разложить на множители и ещё быстрее, если воспользоваться схемой Горнера для деления многочлена:
3 13 13 3
-1 3 10 3 0 - этот коэффициенты трёхчлена
(x+1)(3x²+10x+3)=0
ответ: -3; -1; -1/3
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
