7
Пошаговое объяснение:
|x²–2·x–3|=3·x–3 ⇔ |(x+1)·(x–3)|=3·x–3.
Рассмотрим функцию под знаком модуля
y=(x+1)·(x–3)
Нули функции x₁ = –1 и x₂ = 3. Тогда эти точки делят ось Ох на промежутки (–∞; –1), (–1; 3) и (3; +∞), в которых функция сохраняет свой знак. Определим знаки функции:
1) x∈(–∞; –1): y=(x+1)·(x–3)>0, например: y(–2)=(–2+1)·(–2–3)=(–1)·(–5)=5>0
2) x∈(–1; 3): y=(x+1)·(x–3)<0, например: y(0)=(0+1)·(0–3)= 1·(–3)= –3<0
3) x∈(3; +∞): y=(x+1)·(x–3)>0, например: y(4)=(4+1)·(4–3)=5·1=5>0.
Теперь решаем неравенство.
1) Пусть x∈(–∞; –1]∪[3; +∞). Тогда (x+1)·(x–3)≥0 и по определению модуля
|x²–2·x–3|=x²–2·x–3. В силу этого:
x²–2·x–3=3·x–3 ⇔ x²–5·x=0 ⇔ (x–5)·x=0 ⇔
⇔ x₁ = 0 ∉(–∞; –1]∪[3; +∞) и x₂ = 5 ∈(–∞; –1]∪[3; +∞).
2) Пусть x∈(–1; 3). Тогда (x+1)·(x–3)<0 и по определению модуля
|x²–2·x–3|= –(x²–2·x–3). В силу этого:
x²–2·x–3= –(3·x–3) ⇔ x²+x–6=0 ⇔ (x–2)·(x+3)=0 ⇔
⇔ x₃ = 2 ∈(–1; 3) и x₄ = –3 ∉(–1; 3).
Тогда сумма корней уравнения:
5 + 2 = 7.
Дано неравенство (2/5)^((2x - 7)/(x + 1)) ≥ 5/2.
Чтобы привести к одинаковым основаниям, правую часть представим так: (2/5)^((2x - 7)/(x + 1)) ≥ (2/5)^(-1).
При основании меньше 1 неравенство показателей меняет знак:
((2x - 7)/(x + 1)) ≤ -1. Левая часть должна быть отрицательной. Кроме того, переменная в знаменателе не может быть равна -1.
Поэтому левую и правую части умножим на (х - 1).
2x - 7 ≤ x + 1,
3x ≤ 6,
x ≤ 6/3,
x ≤ 2.
Далее переходим к рассмотрению дроби. Чтобы она была отрицательной, числитель и знаменатель её должны быть разных знаков.
2x - 7 > 0, x > 7/2.
x + 1 < 0, x < -1.
2x - 7 < 0, x < 7/2.
x + 1 > 0, x > -1.
Объединение всех промежутков даёт ответ: -1 < x ≤ 2.
