а) Для ракетостроения завод выпускает 16 326 деталей в год. Шестая часть из них - стальные, 2 725 – железные, а осталь-
ные - алюминиевые. Сколько алюминиевых деталей выпускает
завод в год?
6) Каждый из 425 рабочих завода изготавливает по 236 дета-
лей в день. Двадцать пятая часть деталей идёт на ремонт авиа-
техники, половина оставшихся деталей – на изготовление
новой техники. Сколько деталей идёт на изготовление новой
техники?​

Пишем характеристическое уравнение: k²+7*k+6=0. Оно имеет действительные неравные корни k1=-6, k2=-1. В таком случае общее решение уравнения имеет вид Yо=C1*e^(k1*x)+C2*e^(k2*x). В нашем случае Yo=C1*e^(-6*x)+C2*e^(-x). Дифференцируя это равенство, получаем Y'o=-6*C1*e^(-6*x)-C2*e^(-x). Подставляя начальные условия, приходим к системе уравнений:

C1+C2=1
-6*C1-C2=2

Решая эту систему, находим C1=-3/5, C2=8/5. Тогда искомое частное решение таково: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).

Проверка: Yч'=18/5*e^(-6*x)-8/5*e^(-x), Yч''=-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x). Подставляя Yч, Yч' и Yч'' в уравнение, получаем:
-108/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x)+126/5*e^(-6*x)-56/5*e^(-x)-18/5*e^(-6*x)+48/5*e^(-x)=0=0, то есть найденное решение удовлетворяет уравнению. Теперь находим Yч(0)=-3/5+8/5=1 и Yч'(0)=18/5-8/5=2, то есть найденное решение удовлетворяет и начальным условиям. Значит, оно найдено верно.

ответ: Yч=-3/5*e^(-6*x)+8/5*e^(-x).  

Сначала нужно выполнить чертёж. Это позволит определить точки пересечения линий графиков и наглядно покажет какая из функций больше на заданном промежутке. Итак точки пересечения можно найти по чертежу, получим х=-6 и х=1, и аналитически, решив уравнение:
x²+3x-3=3-2x
x²+3x+2x-3-3=0
x²+5x-6=0
D=5²-4*(-6)=25+24=49
x=(-5-7)/2=-6    x=(-5+7)/2=1
Получили нижний предел интегрирования а=-6, верхний предел интегрирования b=1.
Теперь рабочая формула: если на отрезке [a;b] некоторая непрерывная функция f(x) больше или равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми х=а и х=b, можно найти по формуле

Искомая фигура ограничена прямой y=3-2x сверху и параболой y=x²+3x-3 снизу на отрезке [-6;1]:



ед².