дано действительное число ε (ε > 0). последовательность а1, а2, ... образована по следующему закону: 1) an = n ; n2+1− n2−1 2) a =1−11−1...1− 1 ; n  2 3  n+1   3)a=1−11+1...1+(−1)n . n  2! 3!  (n+1)!   найти первый член аn, для которого выполнено условие: | an – an – 1| < ε.

Давайте по порядку рассмотрим каждую последовательность и найдем первый член, для которого выполнено условие | an – an – 1| < ε.

1) Последовательность an = n; n2+1− n2−1:

Для начала, давайте найдем разность между соседними членами последовательности:

| an – an – 1| = | n - (n-1) | = | n - n + 1 | = 1

Условие | an – an – 1| < ε означает, что 1 < ε.

Так как ε > 0, мы можем выбрать любое положительное значение для ε. Следовательно, нет ни одного значения n, для которого выполняется условие.

2) Последовательность an = 1−11−1...1− 1 ; n  2 3  n+1  :

Сначала найдем разность между соседними членами последовательности:

| an – an – 1| = | 1−11−1...1− 1  - 1−11−1...1− 1  |
n  2 3  n+1 n-1  2 3  n

Обратите внимание, что из каждого числа 1 - 1 получаем 0, и зная, что 0<ε, можем сразу сказать, что для всех n выполняется условие | an – an – 1| < ε.

3) Последовательность an = 1−11+1...1+(−1)n . n  2! 3!  (n+1)!  :

Давайте найдем разность между соседними членами последовательности:

| an – an – 1| = | 1−11+1...1+(−1)n  - 1−11+1...1+(−1)(n-1)  |
n  2! 3!  (n+1)! n-1  2! 3!  n!   

Обратите внимание, что все слагаемые внутри модуля равны либо 1, либо -1. Таким образом, разность между соседними членами на самом деле равна либо 2, либо 0. Используя это, мы можем записать условие | an – an – 1| < ε как 2 < ε.

Так как ε > 0, для ε < 2 первый член, для которого выполняется условие будет a1.

Итак, в данном случае первый член аn, для которого выполняется условие | an – an – 1| < ε, будет равен a1 при ε < 2.

Обратите внимание, что я привел развернутый ответ с подробным объяснением и пошаговым решением так, чтобы он был понятен для школьников. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно ещё что-то объяснить, пожалуйста, дайте знать!