Дан треугольник с вершинами А(5;-2), В(3;-3), C(-1;2).
Точка М пересечения медиан определяется как среднее арифметическое координат вершин.
х(М) = (5+3-1)/3 = 7/3, у(М) = (-2-3+2)/3 = -1.
Точка М((7/3); -1).
Находим координаты векторов сторон
АВ (c) BC (a) AС (b)
x y x y x y
-2 -1 -4 5 -6 4.
Уравнение стороны АВ:
(х - 5)/(-2) = (у + 2)/(-1) это каноническое уравнение.
-х + 5 = -2у - 4,
х - 2у - 9 = 0 уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.
У перпендикуляра к АВ ( то есть высоты СС2) коэффициенты меняются на (-В) и А.
Высота СС2: 2х + у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки С. 2*(-1) + 2 + С = 0. Отсюда С = 0.
Уравнение высоты СС2: 2х + у = 0.
Переходим к стороне ВС.
Уравнение стороны ВС:
(х - 3)/(-4) = (у + 3)/5 это каноническое уравнение.
5х - 15 = -4у - 12,
5х + 4у - 3 = 0 уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.
У перпендикуляра к ВС ( то есть высоты АА2) коэффициенты меняются на В и (-А).
Высота АА2: 4х - 5у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки А. 4*5 - 5*(-2) + С = 0. Отсюда С = -30.
Уравнение высоты АА2: 4х - 5у - 30 = 0.
Теперь можно определить точку Н пересечения высот, приравняв уравнения двух высот.
СС2: 2х + у = 0 умножим на (-2) -4х - 2у = 0
АА2: 4х - 5у - 30 = 0 4х - 5у - 30 = 0.
-7у - 30 = 0.
у(Н) = 30/(-7) = (-30/7) ≈ -4,2857, х(Н) = (-у/2) = (15/7) ≈ 2,1429.
Точка Н((15/7); (-30/7)).
