Відповідь:
Покрокове пояснення:
Щоб скласти ряд розподілу числа стандартних деталей серед 4-х, узятих навмання деталей із числа виготовлених на цьому верстаті, ми можемо використати біноміальний розподіл.
Біноміальний розподіл використовується для моделювання кількості успіхів у послідовності незалежних випробувань, де кожне випробування має два можливих результати: успіх або невдача.
У даному випадку, успіхом є виготовлення стандартної деталі на автоматичному верстаті з ймовірністю 0,8, а невдачею - невиготовлення з ймовірністю 1 - 0,8 = 0,2.
Ряд розподілу для 4-х деталей можна записати таким чином:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
де:
- P(X = k) - ймовірність отримати k успіхів (стандартних деталей),
- n - кількість випробувань (кількість деталей, узятих навмання),
- k - кількість успіхів (стандартних деталей),
- p - ймовірність успіху (ймовірність виготовлення стандартної деталі).
У нашому випадку, n = 4 (4 деталі), p = 0,8 (ймовірність виготовлення стандартної деталі).
Ряд розподілу для 4-х деталей буде виглядати так:
P(X = 0) = C(4, 0) * 0.8^0 * (1 - 0.8)^(4 - 0)
P(X = 1) = C(4, 1) * 0.8^1 * (1 - 0.8)^(4 - 1)
P(X = 2) = C(4, 2) * 0.8^2 * (1 - 0.8)^(4 - 2)
P(X = 3) = C(4, 3) * 0.8^3 * (1 - 0.8)^(4 - 3)
P(X = 4) = C(4, 4) * 0.8^4 * (1 - 0.8)^(4 - 4)
Де C(n, k) - біноміальний
коефіцієнт, який розраховується за формулою:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Застосувавши ці формули, ми можемо розрахувати ймовірності для кожного значення k від 0 до 4.
а) Щоб визначити ймовірність того, що студент складе екзамен, якщо для цього йому необхідно відповісти на всі питання, ми мусимо перемножити ймовірності правильної відповіді на кожне з питань.
Ймовірність правильної відповіді на перше питання: 0,9
Ймовірність правильної відповіді на друге питання: 0,85
Ймовірність правильної відповіді на третє питання: 0,75
Ймовірність скласти екзамен, відповідаючи на всі питання, буде:
0,9 * 0,85 * 0,75 = 0,57375 (або 57,375%)
Тому ймовірність того, що студент складе екзамен, відповідаючи на всі питання, дорівнює 0,57375 (або 57,375%).
б) Щоб визначити ймовірність того, що студент складе екзамен, якщо для цього йому необхідно відповісти хоча б на два питання, ми можемо врахувати два випадки: він правильно відповідає на перше і друге питання, або на друге і третє питання, або на перше і третє питання.
Ймовірність правильної відповіді на перше і друге питання: 0,9 * 0,85 = 0,765
Ймовірність правильної відповіді на друге і третє питання: 0,85 * 0,75 = 0,6375
Ймовірність правильної відповіді на перше і третє питання: 0,9 * 0,75 = 0,675
Тепер ми можемо обчислити ймовірність того, що студент складе екзамен, відповідаючи хоча б на два питання, шляхом додавання ймовірностей для кожного з випадків:
0,765 + 0,6375 + 0,675 = 2,0775 (аб
