Во-первых убеждаемся, что при возведении в куб всех 10 однозначных чисел, среди последних цифр получившихся чисел нет повторов (и тем самым. если x однозначное число, задача решена, тут даже ограничения делать не надо). Пусть x двузначное число, оканчивающееся на 1, или 3, или 7 или 9. Соответственно число, которое мы ищем, будет оканчиваться на 1, или 7, или 3 или 9. Очевидно, для подбора нужного числа достаточно ограничиться поиском среди двузначных чисел, так как следующие разряды при возведении в куб не повлияют на число десятков и единиц куба. Докажем, что если мы возьмем два различных двузначных числа, у которых совпадают числа единиц (и это 1, 3, 7 или 9), а различается количество десятков, то при возведении в куб получатся числа, у которых разное количество десятков. Кстати, давайте для простоты душевной позволять себе двузначные числа с нулевым количеством десятков. Говоря по ученому, мы хотим доказать, что эти кубы не могут быть сравнимы по модулю 100. В самом деле, если число (10a+b)³≡(10c+b)³ (mod 100), то
30ab²+b³ ≡30cb²+b³(mod 100); 30ab²≡30cb² (mod 100); ab²≡cb² (mod 10);
а поскольку b выбирается из набора 1, 3, 7, 9 (все эти числа взаимно просты с 10), то a≡c (mod 10)⇒ a=c. Итак, мы доказали, что возводя 40 двузначных чисел нужного вида в куб, мы будем получать числа, у которых две последние цифры образуют числа, каждый раз разные, и все из того же списка из 40 чисел. Это доказывает утверждение для двузначных чисел.
Далее будем действовать по индукции. Если для k-значных чисел, заканчивающихся на 1, 3, 7 или 9 возведение в куб приводит к числам, последние k цифр которых образуют попарно различные числа, докажем, что то же верно и для (k+1)-значных чисел.
Заметим, что (k+1)-значное число может быть записано в виде суммы k-значного числа B и 
где a - однозначное число.
Пусть 
На этом доказательство завершено.
Відповідь:
Игорь съел 50 ягод.
Рудольф съел 49 ягод.
Покрокове пояснення:
Если Рудольф съест еще 6 ягод, а Игорь съест еще 5 ягод, то количество съеденых Рудольфом и Игорем ягод будет равно. При этом каждый съест 5/9 от общего количество ягод.
Вдвоем они бы съели 5/9 + 5/9 = 10/1 или 1 челая и 1/9. Следовательно 6 + 5 = 11 ягод составляют 1/9 от их общего количества. Значит в миске 11 × 9 = 99 ягод.
Для того, чтобы ребята съели одинаковое количество клубники Рудольф должен съест на одну ягоду больше чем Игорь ( 6 и 5 ягод соответственно ).
Игорь съел:
( 99 + 1 ) / 2 = 50 ягод.
Рудольф съел:
99 - 50 = 49 ягод.
Проверка:
Рудольф:
49 + 6 = 55
55/99 = 5/9
Игорь:
50 + 5 = 55
55/99 = 5/9
