Найдите экстремумы функции f(x) = 9x-x^3​

Пошаговое объяснение:

oneplus Производная от x^3-9x=3x^2-9=0 Отсюда x1=sqrt(3)=1,732 x2=-sqrt(3)=-1,732 f(x=1,732)=-10.39 - локальный минимум f(x=-1,732)=10.39 - локальный максимум – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/qa/matematika/156738-opredelite-ekstremumy-funkcii-fxx3-9x

Конечно, я могу выступить в роли школьного учителя и объяснить, как найти экстремумы функции f(x) = 9x - x^3.

1. Шаг: Найдите производную функции.
Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности и запишем их вместе:
f'(x) = (9x)' - (x^3)'

Производная сложной функции 9x это просто производная числа 9, которая равна 0, так как 9 - это постоянная.
Производная сложной функции x^3 это 3x^2, и мы применяем правило степени к производной x^3.

Таким образом, у нас получается:
f'(x) = 9 - 3x^2

2. Шаг: Найдите точки, в которых производная равна нулю.
Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Для нашей функции f'(x) = 9 - 3x^2, нам нужно найти значения x, при которых f'(x) = 0.

0 = 9 - 3x^2
3x^2 = 9
x^2 = 3
x = ±√3

Таким образом, точки, в которых производная равна нулю, это x = √3 и x = -√3.

3. Шаг: Определите тип экстремума.
Чтобы определить тип экстремума, нужно проанализировать знак производной в окрестности точек, найденных на предыдущем шаге.
Рассмотрите интервалы между точками.

I. В интервале (-∞, -√3):
Подставим любое значение x из этого интервала в выражение f'(x) = 9 - 3x^2:
f'(x) = 9 - 3x^2
Заметим, что x^2 будет положительным числом в этом интервале.
Таким образом, 3x^2 будет отрицательным числом, что означает, что f'(x) будет положительным.
Это показывает, что функция возрастает в интервале (-∞, -√3).

II. В интервале (-√3, √3):
Подставим любое значение x из этого интервала в выражение f'(x) = 9 - 3x^2:
f'(x) = 9 - 3x^2
Заметим, что x^2 будет положительным числом в этом интервале.
Таким образом, 3x^2 будет положительным числом, что означает, что f'(x) будет отрицательным.
Это показывает, что функция убывает в интервале (-√3, √3).

III. В интервале (√3, +∞):
Подставим любое значение x из этого интервала в выражение f'(x) = 9 - 3x^2:
f'(x) = 9 - 3x^2
Заметим, что x^2 будет положительным числом в этом интервале.
Таким образом, 3x^2 будет отрицательным числом, что означает, что f'(x) будет положительным.
Это показывает, что функция возрастает в интервале (√3, +∞).

4. Шаг: Определите значения функции в экстремальных точках.
Чтобы найти значения функции в точках экстремумов, подставим найденные значения x в исходную функцию f(x) = 9x - x^3.

При x = √3:
f(√3) = 9√3 - (√3)^3
= 9√3 - 3√3
= 6√3

При x = -√3:
f(-√3) = 9(-√3) - (-√3)^3
= -9√3 - (-3√3)
= -6√3

Итак, экстремумы функции f(x) = 9x - x^3 находятся в точках (√3, 6√3) и (-√3, -6√3).