а) Тысячное число исходной прогрессии равно а(1000)=а(1)+ d*999=2011+11*999=13000.
Значит искомое число: 1+3=4.
б) Свойство делимости на 9:
1)Число имеет такой же остаток от деления на 9 как и сумма его цифр, деленная на 9.
2) Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9 как остаток от делении суммы остатков этих чисел на 9.
Звучит жутко) Но выглядит так:
a / 9 = b*c + r1
d / 9 = e*f + r2
(a+d) / 9 = m*n + r3
(r1+r2) / 9 = p*q + r3. Так надеюсь понятно.
Вернемся к задаче:
2011 mod9 = 4
11 mod9 = 2
(2+4) mod9 = 6
(6+2) mod9 = 8
(8+2) mod9 = 1
(1+2) mod9 = 3
(3+2) mod9 = 5
(5+2) mod9 = 7
(7+2) mod9 = 0 или (что тоже самое) =9
(9+2) mod9 = 2
(2+2) mod9 = 4
(4+2) mod9 = 6
и так далее.
Значит получившаяся последовательность переодична с периодом. 9:
Сумма первых 9 членов: 2+4+6+8+1+3+5+7+9=45.
Значит сумма 999 членов равна 111*45 = 4995
Сумма первых тысячи равна 4995+4 = 5001
в) для наибольшей суммы нам надо взять 112*45 (это 1008 чисел) + 7 + 9 = 5056.
Выглядит как-то так: 7 + 112*(9+2+4+6+8+1+3+5+7) + 9 = 5056.
Надеюсь из-за позднего времени суток не ошибся и все верно)
Попробую объяснить без чертежа.
У тебя есть пирамида с вершиной M и основанием ABCD.
Для начала проводим вершину (MO, где О- центр четырехугольника); эта высоты делит диагонали 4-ехугольника пополам (АО=ОС, BO=OD).
Перенесем теперь прямую DM в плоскости DMB ровно на половину диагонали ABCD параллельно ее предыдущему положению.
Теперь прямая DM стала прямой OL.
Прямые AL и OL пересекаются теперь в точке L.
Получился треугольник AOL , где угол AOL равен 90 градусов (доказывать долго просто поверь), а угол OAL равен 30 градусов, так как другой угол (угол OLA) равен 60 градусов по условию задачи.
Половина диагонали четырехугольника равна 7 корней из 2 разделить на 2.
Другой катет (первый катет это половина диагонали четырехугольника) равен предыдущему катету умноженному на тангенс 60 градусов:
AO=OL*tg60град
Отсюда,
OL=7 корней из 6 разделить на 6.
MD=2OL, так как OL- средняя линия треугольника DBM, следовательно, MD= 7 корней из 6 разделить на 3.
По теореме Пифагора находишь высоту пирамиды:
OM^2= DM^2-OD^2
OM^2=294 разделить на 36
OM=7 корней из 6 разделить на 6
ответ: 7 корней из 6 разделить на 6
