6. Відчайдух може викопати криницю глибиною 60 дм 3 дні, Дзига за 2 дні, а Писар за 4 дні. За скільки днів Козачки викопають криницю глибиною 65 дм, працюючи разом?
По условию (a + b)/2, sqrt(ab) и 2ab/(a + b) — натуральные числа.
Пусть у a и b наибольший общий делитель d, a = Ad, b = Bd, A и B взаимно просты.
Среднее геометрическое равно d * sqrt(AB). Чтобы оно было натуральным числом, A и B должны быть полными квадратами.
Среднее гармоническое равно 2d * AB/(A + B). Чтобы оно было натуральным числом, 2d должно делиться на A + B, поскольку у A + B нет общих делителей ни с A, ни с B. В случае, когда A = 1^2, B = 2^2, A + B = 5, d >= 5. Во всех остальных случаях 2d >= A + B >= 1^2 + 3^2 = 10, опять-таки d >= 5.
Если d = 5, то числа равны 5A и 5B. Чтобы среднее арифметическое 5(A + B)/2 было натуральным числом, A и B должны быть одинаковой чётности, поэтому b >= 5 * 3^2 = 45. Проверкой убеждаемся, что a = 5, b = 45 — подходит под условие.
Попробуем найти меньшие b при d > 5. Если dB < 45, d >= 6 и B — полный квадрат, то B < 45/6, B <= 7. Учитывая, что B не может быть равно 1^2, получаем, что B = 2^2 = 4, A = 1^2 = 1. 2d должно делиться на A + B = 5, d > 5. Если d = 10, получаем решение a = 10, b = 40. Если d >= 15, то b >= 60 > 45, уже не интересует.
Для каждой позиции числа запомним строчку из трёх значков, в которой на i-м месте стоит +, если Игорь спросил про эту позицию на i-м шаге, и -, если не спросил. Например, строчка +-+ соответствует позиции, про которую спросили в первом и третьем вопросах.
Заметим, что если такие строчки для каких-то двух позиций совпадут, то Игорь не сможет узнать, на каком из этих двух мест какое число стоит, эти позиции для него ничем не отличаются. Так как различных строчек из трёх символов 2^3 = 8, то N <= 8.
N = 8 не подходит, про какую-то позицию он будет вынужден не спросить ни разу (это соответствует строчке ---), но тогда он не будет уверен, какая цифра стоит на этой позиции: есть 3 возможных варианта.
N = 7 подходит. Пусть на первом шаге он спрашивает про позиции 1, 3, 5, 7; на втором — про 2, 3, 6 и 7; на третьем — про 4, 5, 6 и 7. Тогда по тому, на каком шаге какое число появилось, он легко определит, где какая цифра где стоит. Например, если цифра 7 появилась в ответах на вопросы 1 и 3, то она на пятой позиции.
ответ. 7
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
