48 гномов Йоулупукки
Пошаговое объяснение:
У гномов - по 2 ноги
У лис - по 4 лапы
Всего у нас - 228 ножек
Всего
Для начала, раздадим всем по две ноги:
1) 81×2= 162 (ноги)- у
У нас получились все с двумя ногами.
Но ноги у нас ещё остались, узнаем, сколько осталось:
2) 228-162=66 (ног) - осталось.
Итак, у нас все уже имеют две ноги, значит оставшиеся нужно раздавать тоже по две, ведь у лис 4 лапы:
3) 66÷2=33 (лисы Йоулупукки.
Лисы нашлись, теперь узнаем, сколько гномов в Из общего количества уберём лис:
4) 81-33=48 (гномов Йоулупукки.
ответ: 48 гномов Йоулупукки.
Пусть лягушонок стартует в точке 
. Тогда, если какие-то две точки повторились, то лягушонок побывал также в точке дважды, т.е. мы попали в цикл. Если мы покажем, что уравнение 
имеет решение при любом 
, то цикл будет состоять из всех точек, и лягушонок побывает во всех точках по одному разу, а затем вернется в точку ;
Докажем для начала, что если существует решение для остатков 
, то существует решение для остатка 
. Это вполне очевидно: просто сложим два уравнения для остатков . Теперь, в частности, если существует решение для 
, то существует решение для всех остатков. То есть нам надо решить диофантово уравнение 
; Для этого сразу положим 
; Пусть 
;
Тогда из числа 
нам нужно получить число 
; Но мы умеем прибавлять единицу: 
. То есть 
; Иными словами, получили решение 
, но нам нужно решение в натуральных числах. Не вопрос: добавим к 
2020, а к 
добавим 99. Получим решение: 
.
Итак, план действий следующий.
Пусть мы находимся в точке . Прыгаем 41 раз на 100 и 1999 раз на 99. Теперь мы в точке 
. Таким образом, мы посетим все точки.
