Предположим, что кривая C задана векторной функцией r = r ( s ) ,
0 ≤ s ≤ S , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции d r d t = τ = ( cos α , cos β , cos γ ) представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1 ).
В приведенной выше формуле α , β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей O x , O y и O z , соответственно.
Рис.1 Рис.2 Введем векторную функцию F ( P , Q , R ) , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции F ⋅ τ = P cos α + Q cos β + R cos γ существовал криволинейный интеграл ∫ C
( F ⋅ τ ) d s . Такой интеграл ∫ C
( F ⋅ τ ) d s называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции F вдоль кривой C и обозначается как ∫ C
P d x + Q d y + R d z . Таким образом, по определению, ∫ C
P d x + Q d y + R d z = S ∫ 0
( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s , где τ ( cos α , cos β , cos γ ) − единичный вектор касательной к кривой C .
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: ∫ C
( F ⋅ d r ) = S ∫ 0
( F ( r ( s ) ) ⋅ τ ) d s , где d r = ( d x , d y , d z ) .
Если кривая C лежит в плоскости O x y , то полагая R = 0 получаем ∫ C
P d x + Q d y = S ∫ 0
( P cos α + Q cos β ) d s .
Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл I I рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через − C кривую противоположного направления − от B к A . Тогда ∫ − C
( F ⋅ d r ) = − ∫ C
( F ⋅ d r ) ; Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то ∫ C
( F ⋅ d r ) = ∫ C 1 ∪ C 2
( F ⋅ d r ) = ∫ C 1
( F ⋅ d r ) + ∫ C 2
( F ⋅ d r ) ; Если кривая C задана параметрически в виде r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , α ≤ t ≤ β , то ∫ C
P d x + Q d y + R d z = β ∫ α
[ P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d x d t + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d y d t + R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) d z d t ] d t . Если кривая C лежит в плоскости O x y и задана уравнением y = f ( x ) (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде ∫ C
P d x + Q d y = b ∫ a
[ P ( x , f ( x ) ) + Q ( x , f ( x ) ) d f d x ] d x .
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
