7
Пошаговое объяснение:
Первое число, удовлетворяющее условиям, равно 12. Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Последняя цифра постоянна — это 2, значит, сумма остальных цифр должна при делении на 3 давать остаток 1, что уже верно для числа 12. Значит, все подходящие числа можно описать следующей формулой (утверждение 1): 
. Увеличение числа на 30 не изменяет последнюю цифру, при этом каждый раз сумма цифр без последней изменяется на 3 — наименьшее натуральное число, которое не меняет остаток от деления на 3.
Сумма данных чисел оканчивается на 4, если количество чисел при делении на 5 даёт остаток 2 (утверждение 2). Действительно, сумма пяти двоек оканчивается на 0 (меньшим количеством двоек получить 0 невозможно), да ещё две двойки дают на конце 4.
Слагаемых тем больше, чем меньше каждое из чисел. Если записать числа по порядку, то первое число не меньше 12, второе — не меньше 42 и т. д., то есть максимально возможное количество слагаемых достигается, если последовательность задана формулой из утверждения 1. Тогда их сумма — это сумма арифметической прогрессии:
C учётом натуральности n ≤ 8. По утверждению 2 n = 2 или n = 7.
Пусть n = 7. Пусть записаны числа 42, 72, 102, 132, 162, 192, 462. Каждое из них делится на 3, их сумма равна 1164.
a₁;
a₂=a₁+d;
a₃=a₂+d=a₁+2d;
a₄=a₃+d=a₁+3d;
a₅=a₄+d=a₁+4d;
a₆=a₅+d=a₁+5d;
Сумма возрастов двух самых старших в пять раз превышает возраст самого младшего участника.
a₅+a₆=5a₁
Сумма возрастов всех участников этой команды составляет 264 года.
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=264
Решаем систему двух уравнений:
{a₅+a₆=5a₁;
{a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=264
{a₁+4d+a₁+5d=5a₁; ⇒9d=3a₁⇒a₁=3d
{a₁+a₁+d+ a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d+a₁+5d=264⇒6a₁+15d=264
{a₁=3d
{6a₁+15d=264⇒6·(3d)+15d=264⇒33d=264⇒d=8
Самому старшему
a₆=a₁+5d=3·8+5·8=64 года
средний возраст участников этой команды:
(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆)/6=264/6=44 года
