а) на доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после семи таких операций на доске будет только одно число. может ли оно равняться 97?
б) на доске выписаны числа 1, 21, 2², 2³, 210. разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность – неотрицательное число. после нескольких таких операций на доске будет только одно число. чему оно может быть равно?
решение
a) получить 97 можно, например, так. последовательно вычитая из 16 числа 8, 4, 2, 1, получим 1. на доске остались числа 1, 32, 64, 128. далее: бикю 64 – 32 = 32, 32 – 1 = 31, 128 – 31 = 97.
б) докажем, что если на доске выписаны числа 1, 2, 2n, то после n операций, описанных в условии, может получиться любое нечётное число от 1 до 2n – 1. очевидно, числа, большие 2n, на доске не появляются. легко видеть также, что на доске всегда присутствует ровно одно нечётное число. значит, и последнее оставшееся на доске число нечётно. утверждение о том, что все указанные числа построить можно, докажем индукцией по n.
база. имея числа 1 и 2, можно получить только число 1.
шаг индукции. пусть на доске выписаны числа 1, 2, 2n+1. любое нечётное число, меньшее 2n, можно получить за n + 1 операцию (на первом шаге сотрём 2n+1 и 2n и напишем 2n, далее по предположению индукции). нечётные числа от 2n + 1 до 2n+ 1 – 1 можно записать в виде 2n+1 – a, где число a можно получить из набора 1, 2, 2n. на последнем шаге из 2n+1 вычитаем a.
ответ
а) может; б) любому нечётному числу от 1 до 210 – 1.
замечания
: 2 + 3
Своими Исторически-значимыми и покорившими весь мир местами
Почему-то отвечающие не прилагают к ответам фотоиллюстрации, ограничиваясь текстовым содержанием.
1.Волгоград.
Мамаев Курган 9-го Мая поражает своим величием. Самое посещаемое место в этот день не только в России, но и в мире.
Музей-Панорама "Сталинградская Битва".
2.Ростов-на-Дону.
Вечный Огонь 9-го Мая.
3.Новороссийск.
Малая Земля. Композиция "Нос корабля" символизирует высадку десанта и начало освобождения города от оккупации. Внутри расположен музей, который принимает посетителей в летний период.
Набережная. На дальнем фоне расположен крейсер "Михаил Кутузов", который теперь функционирует как музей.
4.Город-курорт Анапа.
Возле этой белой шляпы фотографируются посетители как самой главной достопримечательности.
5.Таганрог.
Дом-музей А.П.Чехова.
6.Азов.
При въезде в город сохранено напоминание о существовании здесь когда-то крепости.
Пороховой погреб сохранен для экспозиции с XVIII-го века.
Краеведческий музей располагает подлинным экспонатом эпохи динозавров.
7.Станица Вёшенская в Ростовской области.
В Мае каждого года в День Рождения М.А.Шолохова отмечают проведением "Шолоховской весны".
