5. Ширина прямоугольника равна 56 см, что составляет длины. Найдите площадь прямоугольника.

В1.
1)
х^2  -5x=0
x(x-5)=0
произведение =0 , если один  из множителей =0
х₁=0
х-5=0
х₂=5

х^2 -0.49 =0
x^2 - 0.7^2 =0
(x-0.7)(x+0.7)=0
x-0.7=0
x₁=0.7
x+0.7=0
x₂=-0.7

x^2 -5x +6=0
D= (-5)^2  -4*1*6= 25- 24=1
x₁= (5-1) / (2*1) = 4/2=2
x₂= (5+1)/2 = 6/2 =3

2) 
3x^2 +5x+8=0
D = 5^2  - 4*3*8 = 25-96= -71 
D<0  нет вещественных корней

49х^2 -28x+4 = 0  
D= (-28)^2  - 4*49*4 = 784-784=0
D=0 - один корень уравнения
х= 28/(2*49) = 14/49 = 2/7

-2х^2-7x +9 = 0
D= (-7)^2 -4*(-2)*9= 49 + 72= 121=11^2
x₁= (7-11)/ ( 2*(-2))= -4/-4=1
x₂= (7+11) / (-4) =18/(-4)=  -4.5

3)
(3x-5)(x+2) = (x+4)^2 -28
3x^2 +6x -5x-10= (x^2 +2*4*x +4^2 ) -28
3x^2  +x -10 =  x^2 +8x -12
3x^2 +x -10 -x^2-8x +12 =0
2x^2  -7x +2 =0
D= 49  - 4*2*2 = 49-16 = 33
x₁= (7-√33)/ (2*2) = (7-√33)/4
x₂= (7+√33)/4

5) 3x^2-bx-14=0
x₁=7        ⇒  
3* 7^2   -  7b -14=0
147 -  7b -14=0
133-7b =0
-7b = -133
b= (-133) /(-7) 
b=19

3x^2 - 19x-14=0
D= (-19)^2  -4*3*(-14) = 361 + 168=529= 23^2
x₁= (19+23)/ (2*3) = 42/6 =7
x₂= (19 - 23 ) / (2*3) = -4/6 = -1/3

5)
Ширина   - а см ,  длина  - (а+2) см.
Площадь:
a (a+2) =24
а^2 +2a -24 =0
D= 2^2 -4*1*(-24) = 4 + 96=100 =10^2
a₁= (-2-10) / (2*1) = -12/2= -6  не удовл. условию задачи
а₂= (-2+10) / 2 =8/2 = 4 (см) ширина
4+2=6  (см) длина
Диагональ:
 d= √(4²+6²) = √52= √(4*13) = 2√13 см
ответ: d=2√13 см

В2.
1.
2x^2-3x=0
x(2x-3)=0
x₁=0
2x-3=0
2x=3
x=3/2
x₂=1.5

x^2-0.25=0
x^2 =0.25
x=√0.25
x₁= 0.5
x₂=-0.5

x^2-7x+12=0
D= 49 - 4*1*12 = 49-48=1
x₁= (7-1)/2 = 6/2=3
x₂= (7+1)/2 = 8/2=4

2)
2x^2+7x+9=0
D= 49 - 4*2*9= 49-72=-23
D<0   нет вещественных корней

25x^2+30x+9=0
D= 30^2  -4*25*9 = 900 - 900=0
D=0  один корень
х= (-30)/ (2*25) = -30/50=-0,6

-3х^2 -5x+8=0
D= 25  -  4 *8 *(-3)= 25+96=121=11^2
x₁= (5-11)/ (2*(-3)) = -6/-6=1
x₂= (5+11) / (-6) =  - 16/6 =  -8/3 =  -2  2/3

3) 
(3x-7)(x+1) = (x+3)^2 -18
3x^2 +3x  -7x -7 = x^2 +2*3*x +3^2-18
3x^2-4x-7= x^2 +6x  -9
3x^2 -4x -7-x^2-6x+9=0
2x^2 -10x +2=0
D= 100 - 16 =84
x₁= (10-√84) / 4 =  (10 -2√21)/4 = (5-√21)/2
x₂= (5+√21)/2

4)5x^2+bx-18=0
x₁= 9  
5*9^2 +9b -18=0
405+9b -18=0
387 +9b=0
9b= -387
b= -43

5x^2 -43x -18=0
D= 1849 - 4*5*(-18) = 1849+360=2209=47^2
x₁= (43+47)/ (2*5) = 90/10=9
x₂= (43-47) /(2*5) = -4/10=-0.4

5)
Один катет  - х см
Второй катет  - (х-7) см
Гипотенуза  - (х+2) см
(х+2)^2 = x^2 + (x-7)^2
х^2 +4x +4 = x^2 +x^2 -14x +49
2x^2 -14x  +49  -x^2 -4x-4=0
x^2 -18x +45=0
D= 324 - 180 = 144= 12^2
x₁= (18-12)/2 = 6/2 =3   - не удовл. условию задачи
x₂= (18+12)/2 = 30/2= 15  (см)  один катет
Периметр:
Р =  15+ (15-7) + (15+2) = 15+8+17=40 см
ответ: Р=40 см

В1.
1)
х^2  -5x=0
x(x-5)=0
произведение =0 , если один  из множителей =0
х₁=0
х-5=0
х₂=5

х^2 -0.49 =0
x^2 - 0.7^2 =0
(x-0.7)(x+0.7)=0
x-0.7=0
x₁=0.7
x+0.7=0
x₂=-0.7

x^2 -5x +6=0
D= (-5)^2  -4*1*6= 25- 24=1
x₁= (5-1) / (2*1) = 4/2=2
x₂= (5+1)/2 = 6/2 =3

2) 
3x^2 +5x+8=0
D = 5^2  - 4*3*8 = 25-96= -71 
D<0  нет вещественных корней

49х^2 -28x+4 = 0  
D= (-28)^2  - 4*49*4 = 784-784=0
D=0 - один корень уравнения
х= 28/(2*49) = 14/49 = 2/7

-2х^2-7x +9 = 0
D= (-7)^2 -4*(-2)*9= 49 + 72= 121=11^2
x₁= (7-11)/ ( 2*(-2))= -4/-4=1
x₂= (7+11) / (-4) =18/(-4)=  -4.5

3)
(3x-5)(x+2) = (x+4)^2 -28
3x^2 +6x -5x-10= (x^2 +2*4*x +4^2 ) -28
3x^2  +x -10 =  x^2 +8x -12
3x^2 +x -10 -x^2-8x +12 =0
2x^2  -7x +2 =0
D= 49  - 4*2*2 = 49-16 = 33
x₁= (7-√33)/ (2*2) = (7-√33)/4
x₂= (7+√33)/4

5) 3x^2-bx-14=0
x₁=7        ⇒  
3* 7^2   -  7b -14=0
147 -  7b -14=0
133-7b =0
-7b = -133
b= (-133) /(-7) 
b=19

3x^2 - 19x-14=0
D= (-19)^2  -4*3*(-14) = 361 + 168=529= 23^2
x₁= (19+23)/ (2*3) = 42/6 =7
x₂= (19 - 23 ) / (2*3) = -4/6 = -1/3

5)
Ширина   - а см ,  длина  - (а+2) см.
Площадь:
a (a+2) =24
а^2 +2a -24 =0
D= 2^2 -4*1*(-24) = 4 + 96=100 =10^2
a₁= (-2-10) / (2*1) = -12/2= -6  не удовл. условию задачи
а₂= (-2+10) / 2 =8/2 = 4 (см) ширина
4+2=6  (см) длина
Диагональ:
 d= √(4²+6²) = √52= √(4*13) = 2√13 см
ответ: d=2√13 см

В2.
1.
2x^2-3x=0
x(2x-3)=0
x₁=0
2x-3=0
2x=3
x=3/2
x₂=1.5

x^2-0.25=0
x^2 =0.25
x=√0.25
x₁= 0.5
x₂=-0.5

x^2-7x+12=0
D= 49 - 4*1*12 = 49-48=1
x₁= (7-1)/2 = 6/2=3
x₂= (7+1)/2 = 8/2=4

2)
2x^2+7x+9=0
D= 49 - 4*2*9= 49-72=-23
D<0   нет вещественных корней

25x^2+30x+9=0
D= 30^2  -4*25*9 = 900 - 900=0
D=0  один корень
х= (-30)/ (2*25) = -30/50=-0,6

-3х^2 -5x+8=0
D= 25  -  4 *8 *(-3)= 25+96=121=11^2
x₁= (5-11)/ (2*(-3)) = -6/-6=1
x₂= (5+11) / (-6) =  - 16/6 =  -8/3 =  -2  2/3

3) 
(3x-7)(x+1) = (x+3)^2 -18
3x^2 +3x  -7x -7 = x^2 +2*3*x +3^2-18
3x^2-4x-7= x^2 +6x  -9
3x^2 -4x -7-x^2-6x+9=0
2x^2 -10x +2=0
D= 100 - 16 =84
x₁= (10-√84) / 4 =  (10 -2√21)/4 = (5-√21)/2
x₂= (5+√21)/2

4)5x^2+bx-18=0
x₁= 9  
5*9^2 +9b -18=0
405+9b -18=0
387 +9b=0
9b= -387
b= -43

5x^2 -43x -18=0
D= 1849 - 4*5*(-18) = 1849+360=2209=47^2
x₁= (43+47)/ (2*5) = 90/10=9
x₂= (43-47) /(2*5) = -4/10=-0.4

5)
Один катет  - х см
Второй катет  - (х-7) см
Гипотенуза  - (х+2) см
(х+2)^2 = x^2 + (x-7)^2
х^2 +4x +4 = x^2 +x^2 -14x +49
2x^2 -14x  +49  -x^2 -4x-4=0
x^2 -18x +45=0
D= 324 - 180 = 144= 12^2
x₁= (18-12)/2 = 6/2 =3   - не удовл. условию задачи
x₂= (18+12)/2 = 30/2= 15  (см)  один катет
Периметр:
Р =  15+ (15-7) + (15+2) = 15+8+17=40 см
ответ: Р=40 см