Решите все отмеченные задания

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.  

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.  

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.  

7. Наклонные асимптоты.

 

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Струнка, пишна, пахуча новорічна ялинка – справжня окраса новорічних свят. Свіжа, принесена в дім з зимового морозу, вона наче казкова лісова принцеса веде за собою святковий настрій. Ялинку встановлюють у кімнаті на видноті та починають прикрашати.
Прикрашання новорічної ялинки – відповідальне та радісне заняття. З коробок дістають блискучі прикраси – кульки, іграшки, дощик, цукерки у золотих обгортках. Спочатку встановлюють верхівку або зірку, потім розвішують найбільші кульки. Ялинку опутують спіраллю різнокольорових ліхтариків. Маленькі фігурки казкових героїв, тваринок, янголів рівномірно розвішують по всіх гілках, щоб не було негарних прогалин та пустоти. Ще на гілки розкладують мохнатий сріблястий дощик та невагомі білі сніжинки з вати.
Під ялинку ставлять фігури Діда Мороза та Снігуроньки, а навкруги розсаджують великі м’які іграшки. Вони будуть охороняти до ранку подарунки, які члени родини приготували одне для одного.
Коли все готово, запалюють ліхтарики, і у всіх блискучих іграшках на ялинці починають грати барвисті вогники. Зігріта домашнім теплом, ялинка розливає навкруги м’який затишний аромат хвої, який створює чудовий святковий настрій для усіх.