Мальчик вышел из дома с собакой в школу. собака побежала вперед в два с половиной раза быстрее чем мальчик. добежав до школы собака повернула назад. и как только она встретилась с мальчиком, она развернулась обратно. и так собака бегала взад и вперед, между школой и мальчиком, пока тот не дошел до школы. вопрос - сколько метров пробежала расстояние между школой и домом - один километр.

Представим что скорость мальчика 1 метр в секунду. (от того какая будет скорость не зависит расстояние пройденое собакой)
скорость собаки 1*2,5=2,5 метра в секунду.
собака пройдёт растояние в 1 км за 400 секунд, тогда мальчик пройдёт за это время 400 метров.
собака вернётся назад и 1000-400=600 метров оставшиеся между ними они будут сближатся со скоростью 2,5+1=3,5 метра в секунду.
600/3,5=171,43... секунды бежала собака назад
171,43*2,5=428,575 метров пробежала собака, а мальчик ещё 600-428,575=171,425
растояние между мальчиком и школой сократилось до 
1000-(400+171,425)=428,575
собака пробежала растояние 428,575 за 428,575/2,5=171,43 секунды, мальчик растояние 171,43 метра. Между ними стало растояние  428,575-171,43=257,145 метров.
они встретились через 257,145/3,5=73,47 секунды.
за это время собака пробежала 73,47*2,5=183,675 метров, а мальчик метров. растояние до школы стало 1000-(400+171,425+73,475)=355,1.
355,1 метр собака пробежала за 142,04 секунды, мальчик за это время 142,04 метра. Растояние между ними стало 355,1-42,04=213,06 метров
они сблизились через 60,88 секунд, за это время мальчик метров и растояние до школы сократилось до 213,06-60,88=152,18 и т.д.

А если считать по другому, то собака пробежала в 2,5 раза больше чем мальчик. Так как скорость собаки в 2,5 раза больше. Мальчик километр, собака пробежала 2,5*1=2,5 километра.