Проведём 2 сечения по призме: - вертикальное по оси и вершине, - горизонтальное по оси шара. В сечении равносторонний треугольник с вписанным кругом. Высота в нём равна h = 3R = 9, а расстояние от центра круга до вершины равно (2/3)h = 6. Примем прямоугольную систему координат с началом в центре шара. Введём точку М(х;у), в которой меньший шар касается трёх плоскостей призмы и большого шара. Пусть R - радиус большого шара, r - радиус меньшего шара. 2 шара касаются по линии ОМ = R+r = √(x²+y²) - тут можно на знаки не обращать внимания - квадраты. Это же расстояние по нормали к плоскости основания можно выразить так:. √(x²+ y²) = R + (R-y) = 2R - y. Возведём в квадрат обе части: х² + у² = 4R² -4Ry + y². После сокращения получаем: 4Ry = 4R² - x². Отсюда у = (R² - x²) / 4R Теперь рассмотрим горизонтальное сечение: расстояние от центра меньшего шара до вершины равно 2r как гипотенуза с катетом против угла в 30°. Тогда расстояние 6 = 2r + x, а так как r = 2R - y, то составим систему уравнений: у = (R² - x²) / 4R у = (x + 2R -6) / 2. Приравниваем правые части и после приведения к общему знаменателю и сокращения, получаем: x² + 2Rx - 12R = 0. Так как R =3, то уравнение приобретает вид: х² + 6х - 36 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=6^2-4*1*(-36)=36-4*(-36)=36-(-4*36)=36-(-144)=36+144=180; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√180-6)/(2*1)=√180/2-6/2=√180/2-3≈3,70820393249935; x_2=(-√180-6)/(2*1)=-√180/2-6/2=-√180/2-3≈-9,70820393249935. Отрицательное значение отбрасываем. Искомый радиус меньшего шара равен r = (6 - x) / 2 = = (6 - 3,708204) / 2 = 1,145898.
Имеем дифференциальное уравнение x * y' = 2y + 1 Перепишем через дифференциалы: x * (dy/dx) = 2y + 1; Обе части сначала разделим на x, а затем на (2y+1) (dy/dx) / (2y + 1) = 1/x; Наконец, можем умножить обе части на dx, получим дифур с разделяющимися переменными: dy/(2y + 1) = dx/x Интегрируем левую и правую части: ∫dy/(2y+1) = ∫dx/x, получаем (1/2) * ln(2y+1) = ln(x) + C Выражаем игрек через икс: ln(2y+1) = 2 ln(x) + 2C = 2 ln(x) + 2C*ln(e) = ln[(x^2) * e^(2C)] 2y+1 = (x^2) * e^(2C) y = (1/2) * ( (x^2) * e^(2C) - 1) =((e^(2C))/2) * x^2 - 1/2 Произвольный коэффициент (e^(2C))/2 можно обозначит любым символом, но пусть это будет тот же самый (для простоты), тогда y = C * x^2 - 1/2
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
