Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, в которой b1=1/8, b8=16

Для решения данной задачи посчитаем первый член прогрессии и её знаменатель.

Итак, из условия задачи известно, что b1 = 1/8 и b8 = 16.

Заметим, что индекс последнего члена прогрессии, который нам дан - 8. Это означает, что у нас есть восььмое слагаемое.

Теперь воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии: bn = b1 * q^(n-1), где bn - n-ый член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Подставим известные значения: b8 = (1/8) * q^(8-1) = (1/8) * q^7 = 16.

Далее, разделим обе части полученного уравнения на (1/8):

q^7 = (16 * 8) = 128.

Теперь найдём значение q, возводя обе части уравнения в седьмую степень:

(q^7)^1/7 = 128^(1/7).

Так как q^7 у нас стоит в степени 1/7, то степень 7 и корень 7 взаимно уничтожаются, и мы получим:

q = 128^(1/7).

Вычислим это значение:

q ≈ 2.

Итак, мы нашли значение знаменателя q = 2.

Теперь нас просят посчитать сумму первых восьми членов прогрессии. Для этого воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

S(n) = b1 * (1 - q^n) / (1 - q), где S(n) - сумма первых n членов прогрессии.

Подставим известные значения: n = 8, b1 = 1/8, q = 2:

S(8) = (1/8) * (1 - 2^8) / (1 - 2).

Выполним расчеты в числителе и знаменателе:

S(8) = (1/8) * (1 - 256) / (-1) = (1/8) * (-255) / (-1) = (1/8) * 255 = 255/8 = 31.875.

Итак, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии равна 31.875.