Множества и операции над ними. Решение задач с кругов Эйлера

Я думаю, что произведение искусства нужно оценивать двояко - как с объективной точки зрения, так и с субъективной. Чтобы иметь собственное суждение о произведении искусства, нужно обладать немалым запасом знаний. Это должны быть сведения об эпохе, когда создавалось произведение, о личности художника, о технике, в которой выполнена работа. Для объективной оценки произведения существует целый ряд критериев, которые выработаны за многие века и используются учеными-искусствоведами. Они дать объективную оценку искусству. Но искусство существует для обычных людей, поэтому каждый человек, соприкасаясь с ним, может его оценить по своему разумению. Если искусство вызывает у него яркую эмоциональную реакцию, то, скорее всего, оно объективно заслуживает высокой оценки.
Я считаю, что да, искусству можно дать объективную оценку. 

Векторам базис не нужен, вектор – это что-то, существующее отдельно от базиса. Но когда идёт речь о координатах вектора, тогда уже понятие базиса существенно.

В физике любому перемещению можно поставить в соответствие вектор перемещения – вектор, соединяющий начало и конец перемещения. Для того, чтобы нарисовать такой вектор, координаты или базис не нужны: достаточно уметь соединять две точки. Даже складывать вектора можно без знания о каком-то "базисе": просто построй второй вектор из конца первого и проведи новый вектор из начала первого перемещения в новый конец. 

Однако может возникнуть вопрос, как обозначить вектор так, чтобы потом по этой записи можно было восстановить сам вектор. Тут на приходит идея: возьмём некий набор векторов  и запишем вектор x в виде линейной комбинации этих векторов: . Тогда вместо того, чтобы рисовать вектор, можно просто записать числа α1, α2, ..., αn, и, зная набор векторов, по которому мы разложили вектор, этот вектор можно будет легко восстановить.

Остаётся только нужным образом выбрать вектора ei. Понятно, что их можно выбрать разными но в любом случае хочется, чтобы: 1) любой вектор можно было разложить по этим векторам и 2) чтобы такое разложение было единственным. Если набор векторов удовлетворяет таким требованиям, его называют базисом.

Один из естественных выбрать базис в трёхмерном пространстве – это взять обычную декартову систему координат, направить вдоль осей единичные отрезки i, j, k и записывать координаты вектора в этом базисе: записи (a, b, c) соответствует вектор x = ai + bj + ck.

Этот же вектор можно записать и в другом базисе. Тогда координаты вектора вообще говоря будут другими. Но сам вектор от этого не поменяется.