Клетки шахматной доски (8×8) покрашены в чёрный и белый цвет. Допустима операция: любые три клетки, образующие уголок из трёх клеток, можно перекрасить в противоположный цвет. Можно ли с таких операций перейти от горизонтальной полосатой раскраски к вертикальной полосатой раскраски?​

681077

Пошаговое объяснение:

Нужно вычислить сумму

S=1+4+7++2017+2020.

Каждое слагаемое отличается на 3 от предыдущего слагаемого, то определим количество слагаемых в сумме по правилу счёта

(2020-1):3+1=2019:3+1=673+1=674.

Перепишем сумму в двух видах:

S=    1    +  4    +   7   ++2014+2017+2020​

S=2020+2017+2014+...  +   7  +   4    +    1

И сложим почленно:

2 · S= (1+2020) + (4+2017) + (7+2014)++(2014+7)+(2017+4)+(2020+1)=

=2021+2021+2021+...+2021+2021+2021=674·2021.

Тогда

S=674·2021:2=337·2021=681077.

Рассмотрим сумму как сумма n= 674 элементов арифметической прогрессии с a₁=1, a₆₇₄=2020. Тогда

S₆₇₄=(a₁+a₆₇₄)·674:2=(1+2020)·337=2021·337=681077.

А₃ + а₈ = 41, а₄а₇ = 400
аn = a₁ + d(n - 1).- формула n-го члена
а₃ = а₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d, a₇ = a₁ + 6d, a₈ = a₁ + 7d.
Теперь а₃ + а₈ = а₁ + 2d + a₁ + 7d = 2а₁ + 9d,
               а₄а₇ = (a₁ + 3d)(a₁ + 6d) = a₁² + 9da₁ + 18d².
Получим систему уравнений:
2а₁ + 9d = 41,                     d = (41 - 2a₁)/9,                                                         (1)
a₁² + 9da₁ + 18d² = 400;    a₁² + 9a₁(41 - 2a₁)/9 + 18((41 - 2a₁)/9)² = 400;    (2)
Решим (2): a₁² + a₁(41 - 2a₁) + 18(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/81 = 400,
                    a₁² + 41a₁ - 2a₁² + 2(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/9 = 400,
                    -a₁² + 41a₁ + 2(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/9 = 400,
                    -9a₁² + 369a₁ + 3362 - 328a₁ + 8a₁² = 3600,
                    -a₁² + 41a₁ + 3362 - 3600 = 0,
                    -a₁² + 41a₁ - 238 = 0,
                    a₁² - 41a₁ + 238 = 0.
                    a₁ = y
                    y² - 41y + 238 = 0
                    D = (-41)² - 4 · 1 · 238 = 1681 - 952 = 729; √729 = 27
                     y₁ = (41 + 27)/2 = 34; y₂ = (41 - 27)/2 = 7
Значит, а₁ = 7 или а₁ = 34,
    тогда d = (41 - 2 · 7)/9 = 3 или d = (41 - 2 · 34)/9 = -3
S₆ = (2a₁ + d(6 - 1))/2 · 6 = 3(2a₁ + 5d)
Если а₁ = 7 и d = 3, то S₆ = 3(2 · 7 + 3 · 5) = 3 · 29 = 87
Если а₁ = 34 и d = -3, то S₆ = 3(2 · 34 - 3 · 5) = 3 · 53 = 159