Постройте график 3sin (x+п/3)

Обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m совпадают, т.е. числа n и m эквивалентны по модулю 10.

 

N = 12^2003 + 26^2003 + 38^2003 ~ 2^2003 + 6^2003 + 8^2003 = 2^2003 + (2^2003)(3^2003) + (2^2003)(2^2003)(2^2003) = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003))

 

Составим таблицу 2^n:

 

n               Значение     Последняя цифра

0                2^0 = 1        1

1                2^1 = 2        2

2                2^2 = 4        4

3                2^3 = 8        8

4                2^4 = 16      6

5                2^5 = 32      2

6                2^6 = 64      4

7                2^7 = 128    8

8                2^8 = 256    6

...

 

Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. Период равен 4.

 

Последняя цифра числа 2^n равна:

 

1: n = 0

4: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...

8: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...

6: n = 4k, где k = 1,2,3,...

 

Отсюда находим, что 2^2003 = (2^2000)*(2^3) = (2^(500*4))*(2^3) ~ 6*8 = 48 ~ 8

 

Составим таблицу 3^n:

n                Значение    Последняя цифра

0                3^0 = 1        1

1                3^1 = 3        3

2                3^2 = 9        9

3                3^3 = 27      7

4                3^4 = 81      1

5                3^5 = 243    3

6                3^6 = 729    9

7                3^7 = 2187  7

8                3^8 = 6561  1

...

 

Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. Период равен 4.

 

Последняя цифра числа 3^n равна:

 

1: n = 4k, где k = 0,1,2,3,...

3: n = 4k + 1, где k = 0,1,2,3,...

9: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...

7: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...

 

Находим, что 3^2003 = (3^2000)*(3^3) = (3^(500*4))*(3^3) ~ 1*7 = 7

 

Итак, N = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003)) ~ 8(1 + 7 + 8*8) = 8 + 8*7 + 8*8*8 = 8 + 56 + 512 ~ 8 + 6 + 2 = 16 ~ 6

 

ответ: последней цифрой нашего числа будет 6.

 

Замечание: Разница между предложенным Вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. Я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.

1) 2cos^2 x - 5sin x + 1 = 0
2 - 2sin^2 x - 5sin x + 1 = 0
-2sin^2 x - 5sin x + 3 = 0
2sin^2 x + 5sin x - 3 = 0
Квадратное уравнение относительно sin x
D = 5^2 - 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
sin x = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3
Решений нет
sin x = (-5 + 7)/4 = 1/2
x = (-1)^k*pi/6 + pi*k

2) f(x) = (2x^3 - 1) / (2x^4 - 8)
f ' (x) = [6x^2*(2x^4 - 8) - (2x^3 - 1)*8x^3] / (2x^4 - 8)^2 =
= (12x^6 - 48x^2 - 16x^6 + 8x^3) / (2x^4 - 8)^2 = (-4x^6 + 8x^3 - 48x^2) / (2x^4 - 8)^2 = 0
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
-4x^6 + 8x^3 - 48x^2 = 0
Делим всё на -4
x^6 - 2x^3 + 12x^2 = 0
а) x1 = x2 = 0; f(0) = (-1)/(-8) = 1/8
Но производная отрицательна и при x < 0, и при x > 0.
Поэтому x = 0 - критическая точка, но не экстремум, а точка перегиба.
Потому что в ней f '' (x) = 0

б) x^4 - 2x + 12 = 0
Это уравнение действительных корней не имеет

в) У функции ещё есть точки разрыва
2x^4 - 8 = 0
x^4 - 4 = 0
x1 = -√2
x2 = √2
Но производная все равно отрицательна при всех x, кроме точек разрыва.
ответ: функция убывает на всей области определения.

3) (2/3)^(2x+3) <= (9/2)^(x-2)
(2/3)^(2x) * (2/3)^3 <= (9/2)^x * (2/9)^2
(4/9)^x * 8/27 <= (9/2)^x * 4/81
(4/9 * 2/9)^x <= (4/81) * (27/8)
(8/81)^x <= 1/6
Основание 0 < 8/81 < 1, поэтому график убывает.
При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется


5)

6) f(x) = x^2 - 2x; x0 = 3
f(x0) = 3^2 - 2*3 = 9 - 6 = 3
f ' (x) = 2x - 2
f ' (x0) = 2*3 - 2 = 4
Уравнение касательной
y = f(x0) + f ' (x0)*(x - x0) = 3 + 4(x - 3) = 3 + 4x - 12
y = 4x - 9