Доказать, что множество X={1/2,2/3,3/4,…,n/(n+1)…} ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точ¬ные верхнюю и нижнюю грани этого множества (n — натура¬льное число).

Добрый день! Давайте рассмотрим данную задачу.

Итак, нам нужно доказать, что множество X={1/2,2/3,3/4,…,n/(n+1)…} ограничено.

Чтобы это сделать, мы должны найти такие числа, которые являются его верхними и нижними границами.

Обратим внимание на последовательность дробей, составляющих множество X. Мы можем представить каждый элемент последовательности в виде десятичной дроби.

Например, первый элемент 1/2 можно записать в виде 0.5, второй элемент 2/3 - в виде 0.666..., третий элемент 3/4 - в виде 0.75 и так далее.

Мы видим, что каждый следующий элемент последовательности будет больше предыдущего, и значение дроби будет стремиться к 1.

Таким образом, мы можем сказать, что каждый элемент последовательности будет меньше или равен 1.

Теперь рассмотрим последний элемент этой последовательности - n/(n+1). Мы знаем, что числитель n - натуральное число.

Из этого следует, что числитель n всегда будет меньше или равен знаменателю n+1. А значит, последний элемент последовательности также будет меньше или равен 1.

Таким образом, мы доказали, что каждый элемент множества X ограничен сверху числом 1.

Для доказательства ограниченности снизу, мы заметим, что первый элемент 1/2 всегда будет больше 0. Значит, каждый элемент множества X ограничен снизу числом 0.

Таким образом, мы определили, что множество X ограничено и его нижней гранью является число 0, а верхней гранью - число 1.

Теперь давайте найдем точные значения верхней и нижней граней.

Верхнюю грань мы уже определили как число 1. Она достигается в последнем элементе последовательности X - n/(n+1), когда n стремится к бесконечности.

Нижнюю грань мы определили как число 0. Она достигается в первом элементе последовательности X - 1/2.

Таким образом, точная верхняя грань множества X равна 1, а точная нижняя грань равна 0.

Вот и весь ответ на задачу. Если есть еще вопросы или что-то нужно пояснить, пожалуйста, спрашивайте.