Заданы координаты вершин пирамиды:
A(2,1,2), B(-2,3,4), C(-6,-3,3), D(4,5,-1)Найти:
1) скалярное произведение АВ. AC и угол между ними.
Находим векторы:
АВ = (-2-2; 3-1; 4-2) = (-4; 2; 2).
Модуль равен √((-4)² + 2² + 2²) = √24 = 2√6.
АС = (-6-2; -3-1; 3-2) = (-8; -4; 1).
Модуль равен √((-8)² + (-4)² + 1²) = √81 = 9.
Находим косинус угла между этими векторами.
cos(AB_AC) = (-4*(-8) + (2*(-4) + 2*1)/(2√6*9) = 26/(18√6) = 13/(9√6).
Скалярное произведение АВ*АС = 26 (расчёт приведен в косинусе А).
Угол А = arccos(13/(9√6) = 53,8648 градуса.
2) вектор р= [AB x AС|, площадь грани ABC;
р= [AB x AС] = i j k| i j
-4 2 2| -4 2
-8 -4 1| -8 -4 = 2i - 16j + 16k + 4j + 8i + 16k =
= 10i - 12j + 32k.
p = (10; -12; 32).
Площадь АВС равна половине модуля полученного векторного произведения.
S = (1/2)|p| = (1/2)√(10² + (-12)² + 32²) = (1/2)√1268 ≈ 35,609 кв. ед.
3) объем пирамиды.
V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
Произведение [ABxAC] найдено выше: (10; -12; 32)
Находим вектор AD.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}.
X Y Z
2 4 -3
Модуль = √29 ≈ 5,38516.
Находим |(ABxAC)*AD|:
10 -12 32
х
2 4 -3
20 -48 -96 = |-126| = 126.
V = (1/6)*126 = 21 куб. ед.
Разобьем всю группу из 181 человек на подгруппы из шести человек в каждой. Так как 181 = 6*30 + 1, то всего таких подгрупп будет шесть плюс еще один человек. Обозначим лжецов заглавной буквой Л, а рыцарей - заглавной Р. Рассмотрим одну из подгрупп из шести человек. Расположим их в ряд. Ясно, что минимум один из этой шестерки лжец. Предположим вначале, что он единственный, пусть он для определенности идет вторым в подгруппе и рассмотрим ряд РЛ. Если второй лжец, то четвертый член ряда рыцарь, так как единственный лжец находится через одного от него. Но, тогда в подгруппе должен присутствовать как минимум еще один лжец. Расположим его под номером три. Получаем ряд РЛЛРРР. Тогда пятый член ряда рыцарь, так как третий, через одного от него лжец. Первый и шестой в ряду тоже оказываются рыцарями, так как следом идет очередная шестерка РЛЛРРР РЛЛРРР. Следовательно в каждой шестерке человек минимум два лжеца. Таких подгрупп из шести человек у нас 30, плюс еще один человек, то есть получаем ряд по кругу РЛЛРРР РЛЛРРР РЛЛРРЛ Р. В последней шестерке присутствует еще один лжец на шестой позиции. Последний также оказывается рыцарем, так как все стоят по кругу. В итоге общее минимальное количество лжецов будет равно 2*30 + 1 = 61.
ответ: 61
