В общем виде объем пирамиды рассчитывается по формуле: (1) где S - это площадь основания, а H - высота пирамиды.
Для правильной пирамиды, ввиду того, что в основании ее лежит равносторонний треугольник (следует из определения правильной пирамиды), формула расчета объема принимает вид: (2) где H - известная нам величина, высота пирамиды, а - это длина стороны основания пирамиды.
К сожалению, тут нельзя рисовать, поэтому буду писать текстом, надеюсь будет понятно.
Т.е. наша задача сводится к тому, чтобы найти длину основания пирамиды. Как ее найти? Рассмотрим треугольник, образованный высотой боковой грани, высотой пирамиды и перпендикуляром (*), восстановленным к стороне основания пирамиды, в точке пересечения с высотой боковой стороны.
У нас получится прямоугольный треугольник. У этого треугольника согласно условия задачи один из углов равен 45 градусам. В соответствии со свойствами прямоугольного треугольник, получаем, что и второй угол равен 45 градусам, а также что у него равны катеты. Один из катетов этого треугольник нам известен, она равен H. Соответственно такое же значение будет иметь и другой катет.
Теперь рассмотрим другой треугольник. Этот треугольник образован половиной одной из сторон основания пирамиды, биссектрисой треугольника, лежащего в основании и рассмотренным ранее перпендикуляром (*). Поскольку целиком весь треугольник основания пирамиды - это равносторонний треугольник (исходя из свойств правильной пирамиды), то угол такого треугольника равен 60 градусов.
Биссектриса разбивает этот угол на две равный равные части, т.е. 30 градусов. Имеем прямоугольный треугольник с углом 30 градусом и противоположным катетом длиной
Из определения тангенса имеем, что длина прилежащего катета равняется
Поскольку полученный катета - это половина стороны основания пирамиды, то полная длина основания пирамиды равна 2 * 12 = 24
т.е. а = 24.
Мы нашли a = 24, знаем H, подставляем все это в формулу (2)
(1)
(2)
