Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром O (рис. 12.11). Прямая а принадлежит плоскости окруж- ности и касается данной окружности в точке В. Докажите, что AB ⟂ а.
Для доказательства того, что AB ⟂ а, нужно использовать свойства перпендикулярных прямых и теорему о касательной к окружности.
1. Из рисунка видно, что прямая АО проходит через центр окружности O. Поскольку прямая АО перпендикулярна плоскости окружности, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2. Также из рисунка видно, что прямая а касается окружности в точке В. Из теоремы о касательной к окружности следует, что прямая а будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра O к точке касания В.
3. Обозначим точку пересечения прямых АО и а как С. Так как прямая АО перпендикулярна радиусу ОВ, то угол между прямыми АС и СО будет прямым (так как угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусам).
4. Теперь нам нужно доказать, что угол между прямыми AB и а также равен 90 градусам. Для этого предположим обратное: пусть угол АВС не равен 90 градусам.
5. В таком случае, угол АВС будет остроугольным или тупоугольным. Если угол АВС остроугольный, то это означает, что прямая СВ пересекает прямую а внутри окружности. Но это невозможно, так как прямая а является касательной к окружности и пересечений с ней быть не должно.
6. Если угол АВС тупоугольный, то это означает, что прямая АС пересекает прямую а за окружностью. Но это также невозможно, так как прямая а касается окружности только в точке В.
7. Таким образом, несмотря на то, каким образом предположили обратное, оно оказалось неверным. Значит, наше первоначальное утверждение верно: AB ⟂ а. Доказательство завершено.
Итак, мы доказали, что прямая AB перпендикулярна прямой а.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
