Математика: Найти условий экстремум z=√x+√y при уравнении x^2+y^2=8

Так как ограничение задано равенством, то условный экстремум будет принадлежать этой кривой.Найдем его с неопределенных множителей ЛагранжаРешим систему:Предположим что λ₁=λ₂. Тогда:Подставим в третье уравнение системыФункция z определена только когда ∀x,y 0, следовательно подходит только пара (2; 2). Найдем λ:Осталось только узнать максимум это или минимум для этого:...

Найти условий экстремум z=√x+√y при уравнении x^2+y^2=8

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

СулеймановаНигяр

25.03.2020 09:49

Для восстановления гектара леса,планируется высадить 5000 тысяч двухгодичных сосен.сколько потребуется молодых сосен ,чтобы восстановить 70 гектаров леса?...

ogne1arp

25.03.2020 09:49

Посеяли 240 семян из которых 228 взошло.найдите процент всхожести семян...

platymax

25.03.2020 09:49

Треугольник abc угол b 45 градусов, высота an делит сторону bc на отрезки bn=8см nc=6 см. найти площадь треугольника abc и сторону ac...

mazasa128

13.09.2021 16:18

Для окрашивания кубика с ребром 4см нужно 1 грам краски.сколько краски потребуется для окрашевания кубика с ребром 12 см...

hussrav98

13.09.2021 16:18

Запишите числа 24, 42, 36, 72, 75 в виде произведения и покажите что: а) 24 делится на 12. б) 42 делится на 21. в) 36 делится на 6. г) 72 делится на 9 д) 75 делится на 5...

WWW2017WWW

13.09.2021 16:18

Ведро со снегом внесли в дом в 2 часа. в 5 часов снег растаял. за сколько времени он растаял?...

Jdjdkdjd

13.09.2021 16:18

4.вычисли а) устно: 9007+1205= 6456+1997= 3799+4200= 3500-1098= 6200-2003= 14700-2670= б) письмено: (180560+20140)-12098= 369+1054+9007= (90106-12315)-685= 3917+51235+610089=...

Neznakomka111111

13.09.2021 16:18

Переделайте песню о, боже, какой мущина на новогоднюю тему, только без пошлого....

000Математик000

13.09.2021 16:18

Номер 781 .785.788 781. б) 3 дм2 +8 мм2 = мм2 782 . рабочим выделили для садовыех участков 6 га земли . сколько рабочих получили участки, если площадь каждого участка 12...

find1337

13.09.2021 16:18

): утром петя делает в 2 раза больше звонков,чем днём,а днём в 7 раз больше,чем вечером.во сколько раз меньше звонков петя делает вечером,чем утром?...

Ответ:

Zimnyaya1

27.02.2021 09:44

$\left \{ {{z=\sqrt{x}+\sqrt{y}} \atop {x^2+y^2=8}} \right.$

Так как ограничение задано равенством, то условный экстремум будет принадлежать этой кривой.

Найдем его с неопределенных множителей Лагранжа

$F(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\lambda(x^2+y^2-8)\\\begin{cases}\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2x\lambda_1=0\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}+2y\lambda_2=0\\\dfrac{\partial F}{\partial \lambda}=x^2+y^2-8=0\end{cases}$

Решим систему:

Предположим что λ₁=λ₂. Тогда:

$\lambda_1=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}};\lambda_2=-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}\\-\dfrac{1}{2y\sqrt{y}}=-\dfrac{1}{2y\sqrt{y}}\Rightarrow x=y$

Подставим в третье уравнение системы

$x^2+x^2-8=0;x=\pm 2\Rightarrow y=\pm2$

Функция z определена только когда ∀x,y > 0, следовательно подходит только пара (2; 2). Найдем λ:

$\lambda = -\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}=-\dfrac{1}{2*2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}$

Осталось только узнать максимум это или минимум для этого:

$\Delta=\begin{vmatrix}0&\varphi'_x&\varphi'_y\\\varphi'_x&F''_{xx}&F''_{xy}\\\varphi'_y&F''_{xy}&F''_{yy}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2x&2y\\2x&\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}+2\lambda&0\\2y&0&\dfrac{1}{4y\sqrt{y}}+2\lambda\end{vmatrix}=-8\lambda(x^2+y^2)-\dfrac{y^2}{x^{3/2}}-\dfrac{x^2}{y^{3/2}}=-8*\dfrac{-\sqrt{2}}{8}(2^2+2^2)-\dfrac{2^2}{2^{3/2}}-\dfrac{2^2}{2^{3/2}}=6\sqrt{2}0\rightarrow \max$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку