На рисунке представлена схема,15 где кружочками обозначены цеха, а линиями – дороги между ними. Сотрудникам нужно закрыть для ремонта несколько дорог. Какое максимальное количество дорог можно закрыть одновременно, чтобы можно было проехать из любого цеха в любой по оставшимся дорогам?

Раскладываем квадраты синусов через косинусы двойных углов:

(1-cos2x + 1 - cos2y)/2 = 1/2

cos2x + cos2y = 1

используем формулу сложения косинусов через полусумму и полуразность:

cos2x + cos2y = 2*cos((2x + 2y)/2)*cos((2x - 2y)/2) = 2cos(x+y)cos(x-y)

Подставляем значение второго уравнения:

cos(x-y) = cos(4П/3)= -1/2

2cos(x+y)*(-1/2) = - cos (x+y) = 1

cos(x+y)= -1

x+y = П; 3П; ... => y = П - x

x-y = 4П/3  

x - П + x = 4П/3

2x = 7П/3

х = 7П/6; 19П/6

y = x - 4П/3 = 7П/6 - 8П/6 = -1П/6 = 11П/6

Пошаговое объяснение:

а) Доказано; б) 48

Пошаговое объяснение:

a)

Т.к. M и N середины сторон треугольника ABC, то MN - средняя линия, а значит MN||BC. Отрезки, лежащие на параллельных прямых параллельны. Тогда MK||BL. Т.к. M - середина AB и MK||BL, то MK - средняя линия треугольника ABL, а значит K середина AL, т.е. AK=KL. Тогда AM+AK=BM+KL. Из условия вписанной в четырехугольник окружности следует, что BM+KL=MK+BL, а так как MK - средняя линия, то MK=BL/2 и BM+KL=3BL/2. Итого P=(AM+AK)+(BM+KL)+BL=2(BM+KL)+BL=4BL. Получили, что P/BL=4BL/BL=4. Доказано.

б)

Пусть AK=KL=x. Тогда x+10=3BL/2. Значит BL=2(x+10)/3. По теореме косинусов из ΔABC AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos∠ABC, следовательно, 34^2=20^2+42^2-2*20*42*cos∠ABC, cos∠ABC=3/5. По теореме косинусов из ΔABL 4x^2=20^2+(2(x+10)/3)^2-2*20*2(x+10)/3*3/5, x=8 (корень -10 посторонний). Поэтому BL=2(8+10)/3=12. Применим формулу, доказанную в пункте a): P=4BL. Итого P=4*12=48.

Задача решена!