. Дискретные случайные величины Три плотника сделали по одному экземпляру одного и того же изделия.
Вероятность предоставить готовое изделие без брака для них соответственно
равны
1 p , p2,p3
. Составить закон распределения случайной величины
X - числа
готовых изделий без брака, найти ее математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
p1-0.2
p2-0.9
p3-0.7

Для составления закона распределения случайной величины X - числа готовых изделий без брака, можно использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение применимо, когда есть последовательность однотипных независимых испытаний, каждое из которых может закончиться успехом или неудачей. В данном случае каждый из трех плотников производит экземпляр изделия, и вероятность предоставить готовое изделие без брака для каждого из них задана.

Закон распределения случайной величины X будет иметь вид:

X = 0: P(X=0) - вероятность, что ни один плотник не предоставит готовое изделие без брака;
X = 1: P(X=1) - вероятность, что только один из трех плотников предоставит готовое изделие без брака;
X = 2: P(X=2) - вероятность, что ровно два из трех плотников предоставят готовое изделие без брака;
X = 3: P(X=3) - вероятность, что все три плотника предоставят готовое изделие без брака.

Теперь найдем значения каждой из этих вероятностей:

1. P(X=0) - вероятность, что ни один плотник не предоставит готовое изделие без брака:
P(X=0) = (1-p1)(1-p2)(1-p3) = (1-0.2)(1-0.9)(1-0.7) = 0.8 * 0.1 * 0.3 = 0.024

2. P(X=1) - вероятность, что только один из трех плотников предоставит готовое изделие без брака:
Найдем отдельно вероятность, что первый плотник предоставит готовое изделие без брака, а остальные два - с браком:
P(первый плотник без брака) = p1 = 0.2
P(второй плотник с браком) = 1 - p2 = 1 - 0.9 = 0.1
P(третий плотник с браком) = 1 - p3 = 1 - 0.7 = 0.3
P(X=1) = p1 * (1-p2) * (1-p3) + (1-p1) * p2 * (1-p3) + (1-p1) * (1-p2) * p3
= 0.2 * 0.1 * 0.3 + 0.8 * 0.9 * 0.3 + 0.8 * 0.1 * 0.7
= 0.06 + 0.216 + 0.056
= 0.332

3. P(X=2) - вероятность, что ровно два из трех плотников предоставят готовое изделие без брака:
Найдем отдельно вероятность, что первый и второй плотники предоставят готовое изделие без брака, а третий - с браком:
P(первый и второй плотники без брака) = p1 * p2 = 0.2 * 0.9 = 0.18
P(третий плотник с браком) = 1 - p3 = 1 - 0.7 = 0.3
P(X=2) = p1 * p2 * (1-p3) + p1 * (1-p2) * p3 + (1-p1) * p2 * p3
= 0.18 * 0.3 + 0.2 * 0.9 * 0.7 + 0.8 * 0.1 * 0.7
= 0.054 + 0.126 + 0.056
= 0.236

4. P(X=3) - вероятность, что все три плотника предоставят готовое изделие без брака:
P(X=3) = p1 * p2 * p3 = 0.2 * 0.9 * 0.7 = 0.126

Таким образом, закон распределения случайной величины X будет иметь вид:
X = 0: P(X=0) = 0.024
X = 1: P(X=1) = 0.332
X = 2: P(X=2) = 0.236
X = 3: P(X=3) = 0.126

Теперь найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Математическое ожидание E(X) вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности:
E(X) = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3)

E(X) = 0 * 0.024 + 1 * 0.332 + 2 * 0.236 + 3 * 0.126
= 0 + 0.332 + 0.472 + 0.378
= 1.182

Таким образом, математическое ожидание E(X) равно 1.182.

Дисперсия Var(X) вычисляется как сумма произведений квадратов разности случайной величины и математического ожидания на соответствующие вероятности:
Var(X) = [ (0-E(X))^2 * P(X=0) + (1-E(X))^2 * P(X=1) + (2-E(X))^2 * P(X=2) + (3-E(X))^2 * P(X=3) ]

Var(X) = [ (0-1.182)^2 * 0.024 + (1-1.182)^2 * 0.332 + (2-1.182)^2 * 0.236 + (3-1.182)^2 * 0.126 ]

Var(X) = [ 1.396^2 * 0.024 + (-0.182)^2 * 0.332 + (0.818)^2 * 0.236 + (1.818)^2 * 0.126 ]

Var(X) = [ 1.948 * 0.024 + 0.033 * 0.332 + 0.669 * 0.236 + 3.309 * 0.126 ]

Var(X) = [ 0.046752 + 0.010956 + 0.157284 + 0.417234 ]

Var(X) = 0.632226

Таким образом, дисперсия Var(X) равна 0.632226.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) SD(X) равно квадратному корню из дисперсии:
SD(X) = sqrt(Var(X))

SD(X) = sqrt(0.632226)

SD(X) ≈ 0.795.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение SD(X) равно примерно 0.795.