Математика: Найти область сходимости функционального ряда/

Найти область сходимости функционального ряда/

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

Юля5451

06.10.2020 18:23

Решите уравнение: г)418*304-469440: х-103902=22690...

katyan1va

06.10.2020 18:23

Вычеслите периметр: а)параллелограмма со сторонами 9,4 и 5,7 см. б)ромба со стороной 8,5 см. 2)составе формулу для вычисления периметра: а)параллелограмма б)ромба распешите...

vfggggggd

06.10.2020 18:23

Самый короткий месяц в году- февраль. в нем сколько дней?...

serega7315

06.10.2020 18:23

Вырази в дециметрах 1м-(2дм6см+ 3дм): 7...

Spokeup

06.10.2020 18:23

Фермер на рынок бидон молока и за первый час продал 5/9 молока.если бы он продал еще 20 л,то оказалось бы, что продано 5/6 всего молока .сколько литров молока было в...

Vladislav45609

06.10.2020 18:23

Одна из сторон прямоугольника равна 5 см, периметр равен 18 см. найдите,чему равна площадь....

sokolovamoroz

06.10.2020 18:23

Сколько живых организмов находится в лесах...

НикаиВикаСестры1110

06.10.2020 18:23

Запышить увыгляди десяткового друбу сем восьмых...

89528849556keyz

06.10.2020 18:23

Петя на три года старше васи,а вместе им 27 лет.сколько лет каждому?...

ramzesrvc

06.10.2020 18:23

За первый день рабочий перевыполнил заказ на 5%, а за второй - на 7%. на сколько процентов рабочий перевыполнил заказ за эти два дня?...

Ответ:

skskanshhd

07.02.2021 17:15

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n!\, x^{n}}{n^{n}}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}= \lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{(n+1)!\cdot |x|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^{n}}{n!\cdot |x|^{n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n!\cdot (n+1)\cdot |x|^{n}\cdot |x|\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}\cdot (n+1)\cdot n!\cdot |x|^{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\ |x|\cdot \Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n}=$

$=|x|\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\ \Big(1+\dfrac{-1}{n+1}\Big)^{n}=|x|\cdot e^{-1}=\dfrac{|x|}{e}$

$=\lim\limits_{n \to \infty}\ \sqrt{2\pi n}\cdot \Big(\dfrac{n}{e}\Big)^{n}\cdot \Big(\dfrac{e}{n}\Big)^{n}=\lim\limits_{n \to \infty}\ \sqrt{2\pi n}=\infty \ ,\ \ rasxoditsya$

$x=-e:\ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}\cdot n!\cdot e^{n}}{n^{n}}\ \ ,$ условия признака Лейбница не

выполняются, ряд расходится.

Область сходимости: $x\in (-e\ ;\ e\ )\ .$

0,0(0 оценок)

Ответ:

sashabayanov

07.02.2021 17:15

(-e;e)

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n}}=\dfrac{1}{e}$

А тогда радиус сходимости $R=\dfrac{1}{\frac{1}{e}}=e$

Исследуем сходимость на концах

$x=e\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!e^n}{n^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!e^n}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n\cdot e^n}{n^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n}=\infty$ - необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится.

$x=-e\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!(-e)^n}{n^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-1)^n$

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n(-1)^n=\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n\sqrt{2\pi n}\neq 0$ - необходимое условие сходимости не выполнено, а значит ряд расходится.

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку