По значению тангенса можно найти значение косинуса. Их связывает одно очень важное соотношение:
1 + tg²t = 1 / cos²t
Отсюда выразим квадрат косинуса:
cos²t = 1 / (1 + tg²t)
Теперь подставим значения в данное выражение и найдём квадрат косинуса:
cos²t = 1 / (1 + 49/576) = 1 : 625/576 = 576/625
Следовательно, по квадратному уравнению получаем два возможных значения косинуса:
сos t = 24/25 или cos t = -24/25
Какой косинус выбрать - положительный или отрицательный? По условию значение угла лежит в промежутке от π до 3π/2. Поэтому, угол лежит в 3 четверти, где косинус как мы знаем отрицательный. Поэтому, cos t = -24/25.
Теперь элементарно вычислить например котангенс угла. Получаем по соотношению между тангенсом и котангенсом:
ctg α = 1 / tg α = 1 : 7/24 = 24/7
Синус угла легко найти, зная косинус и например тангенс(всё это мы знаем).
tg α = sin α / cos α
Отсюда
sin α = tg α * cos α = 7/24 * (-24/25) = -7/25
Задача решена.
Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1.
Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000 . x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но
7x - 17 . 100 - 1 = 699,
поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.
Сумма этих чисел:
х+у
143+143=286
