Найдите длину дуги кривой x^2=9y^3 от точки A до точки B, где A=(0,0) и B=(81,9).

Найти производную функции: y= cos 7x +log2(x5-3x) 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой у= -x2+5x-6.

Пошаговое объяснение:

1) y' = (cos7x +log(2)(x⁵-3x) )' =-7sin7х+ 1*(2x-3)/ ( (х²-3х)Ln2)=

=-7sin7х+ (2x-3)/ ( (х²-3х)Ln2).

2)у= -x²+5x-6, ось ох.

у= -x²+5x-6, парабола ветви вниз. Координаты вершины х₀=-в/2а,

х₀=-5/(-2)=2,5  , у₀=0,25 .

Точки пересечения с ох, у=0 :-x²+5x-6=0 или    

x²-5x+6=0.   По т Виета х₁+х₂=5  ,х₁*х₂=6 . Значит х₁=2, х₂=3 и пределы интегрирования  от 2 до 3:

S=∫(-x²+5x-6))dx=(-х³/3+5х²/2-6х) |  =

(-3³/3+5*3²/2-6*3) -(-2³/3+5*2²/2-6*2) =

=-9+22,5-18+8/3-10+12=

=-37+34,5+8/3=1/6

Путь  в  школу.
От дома  до остановки :
расстояние  S₁ =  x  км
скорость  V₁ =  6  км/ч
время  t₁ =  x/6  ч. 
От остановки до школы:
S₂ = y  км
V₂ = 30 км/ч
t₂= y/30  ч.
Всего затрачено времени : t₁ + t₂ =  54 мин. = 54/60 ч. = 0,9 ч.
Первое уравнение  :   х/6    + у/30 = 0,9 

Обратный путь.
От школы  до остановки :
S₃=S₂ = y км
V₃ =  36 км/ч
t₃ =  y/36  ч.
От остановки до дома:
S₄= S₁ =  х км
V₄ = 5 км/ч
t₄ =  x/5  ч.
Всего затрачено времени: t₃ + t₄ =  56 мин. = 56/60 ч. = 14/15  ч.
Второе уравнение :   у/36  + х/5  = 14/15

Система уравнений:
{x/6  + y/30 = 0.9         | ×30          ⇔  {5x + y = 27        ⇔  {y=27 -5x
{y/36 + x/5  = 14/15     | ×36×5      ⇔  {5y  + 36x = 168 ⇔  {y=(168 - 36x)/5
27 - 5х  = (168  - 36х)/ 5        |×5
135 - 25x = 168 - 36x
-25x + 36x = 168 - 135
11x = 33
x= 3 ( км) расстояние от дома до остановки
у= 27 - 5×3  = 27 - 15
y = 12 (км) расстояние от остановки до школы.
Проверим:
3/6  +  12/30  = (15+12)/30 = 27/30 = 54/60 ч. = 54 мин.
12/36 + 3/5 =   (60+108)/180 = 168/180 = 56/60 ч. =  56 мин.

ответ: 3 км  расстояние от дома до остановки.