Обозначим цифры числа буквами a, b, c. По условию a+b+c=8, а также a^2+b^2+c^2=11k, где k - некоторое натуральное число.
Из первого условия (a+b+c)^2=64, отсюда a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2=64 или a^2+b^2+c^2=64-2(ab+ac+bc)=11k
Получили, что число 64-2(ab+ac+bc) делится на 11, сокращаем его на 2, получаем 32-(ab+ac+bc) делится на 11.
Это возможно в двух случаях: 1. Когда ab+ac+bc=10, т. е. a(b+c)+bc=10, но таких чисел не существует.
2. Когда ab+ac+bc=21, т. е. a(b+c)+bc=21. Подбором находим, что уравнению удовлетворяют цифры a=3; b=2; c=3. Следовательно
искомому числу удовлетворяют числа 323, 332 и 233.
ответ: 323, 332 и 233.
abc
a + b + c = 8 (1)
a² + b² + c² = 11x x∈N (2)
Возведем обе части (1) в квадрат. Получим:
(a + b + c)² = 64
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 64
a² + b² + c² = 64 - 2(ab + bc + ac). Тогда из (2):
64 - 2(ab + bc + ac) = 11x
Так как левая часть четна при любых a, b и с ∈ N, то разделим ее на 2:
32 - (ab + ac + bc) = 11x
Равенство выполняется в двух случаях: при х = 1 и х = 2, однако, сумма квадратов цифр числа, с суммой цифр, равной 8, не может равняться 11. Следовательно х = 2. Сумма квадратов цифр числа - 22 и само число:
332; 323; 233.
ответ: 332.
Или так:
Так как сумма цифр трехзначного числа равна 8, и, по условию, цифры могут повторяться, то максимальное число, удовлетворяющее первому условию, - 800. Однако, второму условию это число не удовлетворяет, так как 64 не кратно 11.
Цифры 0 в составе числа быть не может, так как две оставшиеся цифры должны быть или обе четные, или обе нечетные. Сумма квадратов и в том, и в другом случае четна, что не соответствует условию 2.
Так как 64 - максимально возможная сумма квадратов цифр для данного числа, а цифры 0 в составе числа быть не может, то максимально возможное число уменьшается до 611. Сумма квадратов для этого числа - 38. Следовательно, сумма квадратов для числа, удовлетворяющего второму условию, может быть 33 или 22.
33 не подходит, так как 611 имеет сумму квадратов, равную 38, а 521 - сумму квадратов, равную 30.
Остается число 22. И исходное трехзначное число - 332; 323 или 233 с суммой квадратов цифр, равной 9 + 9 + 4 = 22
ответ: 332.
