решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30
- какой алгоритм решения данных уравнений?
Глоссарий по теме:
Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.
Алгоритм - последовательность действия (шагов)
Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 - М.; Просвещение, 2017. – с.80
2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35
3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.
4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.
5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.
Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.
Если 60 разделить на 20, получится 3.
Если 60 разделить на 3, получится 20.
Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.
20 ∙ 3 = 60
60 : 20 = 3
60 : 3 = 20
Решим уравнение:
произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 - получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.
13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:
91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.
А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.
Вспомним, как связаны между собой числа при делении.
Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.
Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.
Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.
15 : 3 = 5
3 ∙ 5 = 15
15 : 5 = 3
Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.
Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.
А как решить такое уравнение? Вычислим произведение
Даны: точка А(0; -1; 0), уравнения прямой (x + 1)/(-2) = y/1 = (z – 1)/(-2) и плоскости -8x – 4y + z + 13 = 0.
Найти:
а) угол между прямой и плоскостью.
Направляющий вектор прямой имеет вид:
n1 = {-2; 1; -2}.
Вектор нормали плоскости имеет вид:
n = {-8; -4; 1}.
Угол между прямой и плоскостью:
sinφ = | -2 · (-8) + 1 · (-4) + (-2) · 1 |
√((-2)2 + 12 + (-2)2) · √((-8)2 + (-4)2 + 12) =
= (16-4-2)/(√9*√81) = 10/(3*9)=10/27.
Угол равен arcsin(10/27) = 21,73846 градуса.
б) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно данной плоскости.
Для этой прямой (пусть это будет АК) вектор нормали плоскости n = {-8; -4; 1} будет направляющим вектором.
Получаем уравнение:
АК: x/(-8) = (y + 1)/(-4) = z/1.
в) уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой.
Для этой плоскости направляющий вектор прямой n1 = {-2; 1; -2} будет нормальным вектором.
Подставим его координаты в уравнение плоскости с учётом точки (-1; 0; 1), принадлежащей плоскости.
-2(x + 1) + 1*y – 2*(z – 1) = 0,
Получаем уравнение 2x – y + 2z = 0.
г) расстояние от точки до прямой.
Из уравнения прямой получим:
s = -2; 1; -2 - направляющий вектор прямой;
M1 = -1; 0; 1 - точка, лежащая на прямой.
Тогда
M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = (-1 - 0; 0 - (-1); 1 – 0( = (-1; 1; 1).
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:
S = |M0M1 × s|
M0M1 × s = i j k
-1 1 1
-2 1 -2 =
= i (1·(-2) - 1·1) - j (-1·(-2) - 1·(-2)) + k (-1·1 - 1·(-2)) =
= i (-2 – 1) - j (2 + 2) + k( -1 + 2) =
= (-3; -4; 1).
Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |M0M1×s|/|s| = √(-3)2 + (-4)2 + 12/√(-2)2 + 12 + (-2)2 = √26/√9 = √26/3 ≈ 1,69967.
д) расстояние от точки А(0; -1; 0) до плоскости -8x – 4y + z + 13 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |-8·0 + (-4)·(-1) + 1·0 + 13|/√((-8)² + (-4)² + 1²) = |0 + 4 - 0 + 13|/√(64 + 16 + 1) = 17/√81 = 17/9 ≈ 1,88889.
