7/Задание № 1:
Сколько чётных двузначных чисел, которые при делении на сумму цифр числа дают неполное частное 7 и остаток 3?
РЕШЕНИЕ: Пусть это число АВ=10a+b. Тогда, 10a+b=7(a+b)+3.
10a+b=7a+7b+3
3a=6b+3
a=2b+1
2b=a-1
Учитывая, что:
- а и b цифры, то есть целые числа от 0 до 9, но а не ноль, поскольку AB двузначное число
- число AB должно быть четным, то проверять нечетные b нет смысла
- остаток должен быть меньше делителя, значит минимально возможная сумма (a+b) равна 4
b=0: a=2*0+1=1 - не может быть a+b=1<4
b=2: a=2*2+1=5, число 52
b=4: a=2*4+1=9, число 94
При b=6 и более а=2*6+1=13 и более - не соответствует цифре.
ОТВЕТ: 2 числа
7/Задание № 2:
Если от задуманного трёхзначного числа отнять 8, то получившееся число разделится на 8. Если от задуманного числа отнять 9, то результат разделится на 9. А если к числу прибавить 13, то результат разделится на 13. Какое число было задумано?
РЕШЕНИЕ: Пусть х задумано. Тогда:
х-8=8а, значит х=8a+8=8(a+1) - задуманное число делится на 8
х-9=9b, значит х=9b+9=9(b+1) - задуманное число делится на 9
x+13=13c, значит х=13c-13=13(c-1) - задуманное число делится на 13
Учитывая, что 8, 9 и 13 - попарно взаимно просты, то задуманное число делится на НОК(8, 9, 13)=8*9*13=936. Понятно, что трёхзначное число, кратное 936 одно - само это число.
ОТВЕТ: 936
