Предположим обратное, то есть то, что невозможно окружности совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Совместим окружности. Назовем
-тую точку
. Будем действовать следующим образом: в начальный момент хотя бы одна точка находится на дуге (пусть это точка
). Начнем движение одной окружности относительно другой. Как только точка
сойдет с дуги, переключим внимание на другую точку
, которая в этот момент находится на дуге. В каждый момент считаем прибором расстояние, которое проходит точка, за которой мы наблюдаем. Поэтому мы посчитаем расстояние
, не превосходящее
, где
— количество точек,
— суммарная длина дуг. С другой стороны, в любой момент прибор включен и считает расстояние. Поэтому
не меньше
— длины окружности. Имеем:
, однако
. Противоречие.