ответ: S=1/3 кв. ед.
Пошаговое объяснение:
Решая уравнение (x+1)⁴=x+1, находим x1=-1 и x2=0 - нижний и верхний пределы интегрирования. Искомая площадь S=S1-S2, где S1=∫√(x+1)*dx, а S2=∫(x+1)²*dx. Находим первообразную для S1: F1(x)=∫(x+1)^(1/2)*d(x+1)=2/3*(x+1)^(3/2)+C1, где C1 - произвольная постоянная. Отсюда S1=F1(x2)-F1(x1)=2/3 кв. ед. Находим теперь первообразную для S2: F2(x)=∫(x+1)²*d(x+1)=1/3*(x+1)³+C2, где С2 - также произвольная постоянная. Отсюда S2=F2(x2)-F2(x1)=1/3 кв. ед. и тогда S=2/3-1/3=1/3.
Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = х^3 - 3х^2 - 45х + 2 с производной.
1) Найдем производную функции.
у' = (х^3 - 3х^2 - 45х + 2)' = 3х^2 - 6х - 45.
2) Найдем нули производной.
3х^2 - 6х - 45 = 0;
х^2 - 2х - 15 = 0;
D = b^2 - 4ac;
D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64; √D = 8;
x = (-b ± √D)/(2a);
x1 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5;
x2 = (2 - 8)/2 = -6/2 = -3.
3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Отметим на числовой прямой числа (-3) и 5. Они разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; -3), 2) (-3; 5), 3) (5; +∞). На 1 и 2 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные.
Если производная принимает положительные значения на промежутке, то на этом промежутке функция возрастает, а если производная на промежутке принимает отрицательные значения, то на этом промежутке функция убывает. Значит на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает.
ответ. Функция возрастает на (-∞; -3) ∪ (5; +∞). Функция убывает на (-3; 5)
