Дана функция f(x)=2x^3-x^2-8x+4.
) Область определения функции D.
Так нет ограничений, то D ∈ (-∞; +∞).
2) Особые свойства функции - особых нет.
3) Нахождение точек пересечения графика с осями.
Если х = 0, то точка пересечения с осью Оу = 4.
Если у = 0, то надо решить кубическое уравнение:
2x^3-x^2-8x+4 = 0.
Иногда удаётся найти корни уравнения среди множителей свободгого члена: +-1, +-2, +-4.
В данном уравнении подходят корни х = +-2.
Разделив последовательно заданное выражение на (х - 2) и (х + 2), находим третий корень х = 0,5.
4) Нахождение промежутков монотонности.
Находим производную функции.
y' = 6x² - 2x - 8 и приравниваем её нулю.
6x² - 2x - 8 = 0 или 3x² - x - 4 = 0. D = 1 - 4*3*(-4) = 49. √D = +-7.
x1 = (1 - 7) / 6 = -1,
x2 (1 + 7)/6 = 8/6 = 4/3.
Это критические точки, в которых производная равна нулю.
Нахождение локального экстремума.
Определяем характер найденных критических точек по знакам производной левее и правее этих точек.
х = -2 -1 0 4/3 2
y' = 20 0 -8 0 12.
Максимум в точке х = -1, у = 9,
минимум в точкех = 4/3, у = -100/27.
Из этой таблицы получаем и свойство функции на промежутках.
Получено 3 промежутка монотонности:
(-∞; -1) и ((4/3; +∞) функция возрастает,
(-1; (4/3)) функция убывает.
5) Нахождение интервалов выпуклости графика функции.
Находим вторую производную функции.
y'' = 12x - 2. Приравниваем её нулю:12х - 2 = 0 или 6х - 1 = 0.
Отсюда получаем одну точку перегиба функции х = 1/6.
(-∞; (1/6)) выпуклость вверх,
((1/6); +∞) выпуклость вниз (по знакам второй производной).
ответ: max f(x) = f( 0 ) = - 9 .
[-1;1]
Пошаговое объяснение:
1 . f(x)=x⁴- 8x²-9 на відрізку [-1 ; 1 ] .
f '(x) = ( x⁴- 8x²-9 )' = 4x³- 16x = 4x ( x² - 4 ) = 4x (x + 2 )( x - 2 ) ;
f '(x) = 0 ; 4x (x + 2 )( x - 2 ) = 0 ;
x₁ = 0 ; x₂ = - 2 ∉ [-1 ; 1 ] ; x₃ = 2 ∉ [-1 ; 1 ] ;
f( 0 ) = 0⁴ - 8*0² - 9 = - 9 ;
f( - 1 ) = ( - 1)⁴ - 8* ( - 1)² - 9 = 1 - 8 - 9 = - 16 ;
f( 1 ) = f( - 1 ) = - 16 .
max f(x) = f( 0 ) = - 9 .
[-1;1]
