Правила умножения и деления алгебраических дробей
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, по которым проводятся соответствующие действия с обыкновенными дробями. Напомним их.
Нам известно, что при умножении обыкновенных дробей отдельно перемножаются числители и отдельно – знаменатели, первое произведение записывается числителем, а второе – знаменателем. Например, .
А деление обыкновенных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. К примеру, .
Теперь можно увидеть отчетливое сходство с правилами умножения и деления алгебраических дробей, которые мы сейчас и сформулируем.
Умножение двух и вообще любого числа алгебраических дробей в результате дает дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей. Этому правилу отвечает равенство , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b и d – ненулевые.
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.
Здесь стоит обратить внимание на то, что под алгебраической дробью, обратной данной, понимают такую дробь, произведение которой с исходной тождественно равно единице. То есть, взаимно обратные алгебраические дроби определяются аналогично взаимно обратным числам. И из того, как мы определили умножение алгебраических дробей, следует, что взаимно обратные алгебраические дроби различаются тем, что у них числители и знаменатели переставлены местами. Например, обратной к алгебраической дроби будет дробь .
Пошаговое объяснение:
a = b = 0; M(2, 0); |MN| = √2
Пошаговое объяснение:
{ a^2*x - y = 2a^2 - 2b
{ x - by = 2 - 2a^2
Точки: N(3; -1), M(x; y)
Прямая: y = 2 - x
Расстояние |MN| должно быть минимальным.
Расстояние между этими точками можно найти по формуле:
|MN| = √[(x-3)^2 + (y+1)^2] = √[(x-3)^2 + (2-x+1)^2] = √[(x-3)^2 + (3-x)^2]
|MN| = √[(x-3)^2 + (x-3)^2] = √[2(x-3)^2] = |x-3|*√2
Это расстояние должно быть минимальным.
Для этого x должно быть как можно ближе к 3.
Подставим в систему y = 2 - x и найдем возможные а и b.
{ a^2*x - (2 - x) = 2a^2 - 2b
{ x - b(2 - x) = 2 - 2a^2
Раскрываем скобки
{ a^2*x - 2 + x = 2a^2 - 2b
{ x - 2b + bx = 2 - 2a^2
Приводим подобные
{ x(a^2 + 1) = 2a^2 - 2b + 2
{ x(b + 1) = -2a^2 + 2b + 2
Выразим х в обоих уравнениях
{ x = (2a^2 - 2b + 2) / (a^2 + 1) = 2(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1)
{ x = (-2a^2 + 2b + 2) / (b + 1) = 2(b + 1 - a^2) / (b + 1)
Приравниваем правые части
2(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1) = 2(b + 1 - a^2) / (b + 1)
Делим всё на 2
(a^2 + 1 - b) / (a^2 + 1) = (b + 1 - a^2) / (b + 1)
Выделяем целую часть
1 - b / (a^2 + 1) = 1 - a^2 / (b + 1)
Вычитаем 1 и меняем знаки
b / (a^2 + 1) = a^2 / (b + 1)
По правилу пропорции
b(b + 1) = a^2*(a^2 + 1)
Замена a^2 = c
b(b + 1) = c(c + 1)
Очевидно, что b = c = a^2
x = 2(b + 1 - b) / (b + 1) = 2*1/(b + 1) = 2/(b + 1)
Минимальное a^2 = 0, тогда b = a^2 = 0, отсюда:
x = 2/(0+1) = 2, y = 2 - x = 2 - 2 = 0
Если будет b > 0, то будет x < 2, и значит, дальше от 3.
Нужная нам точка M(2, 0). При этом a = b = 0.
Минимальное расстояние
|MN| = |x-3|*√2 = |2-3|*√2 = √2
