Найти какой нибудь базис и найти размерность линейного пространства решений системы Типовой расчёт

Для решения данной задачи, прежде всего, нам нужно выписать расширенную матрицу системы уравнений. Расширенная матрица получается путем добавления столбца свободных членов к матрице коэффициентов:

```
[ 2 4 2 6 | 10 ]
[ 1 2 -1 5 | 7 ]
[ 3 6 1 3 | 11 ]
```

Далее мы будем приводить данную матрицу к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк. Цель - получить нулевые строки под главной диагональю.

Шаг 1: Для обнуления первого элемента второй строки умножим первую строку на -1 и сложим со второй строкой:

```
[ -2 -4 -2 -6 | -10 ]
[ 1 2 -1 5 | 7 ]
[ 3 6 1 3 | 11 ]
```

Шаг 2: Для обнуления первого элемента третьей строки умножим первую строку на -3 и сложим со третьей строкой:

```
[ -2 -4 -2 -6 | -10 ]
[ 1 2 -1 5 | 7 ]
[ 0 0 7 21 | 41 ]
```

Шаг 3: Для обнуления второго элемента третьей строки умножим вторую строку на 2 и вычтем из третьей строки:

```
[ -2 -4 -2 -6 | -10 ]
[ 1 2 -1 5 | 7 ]
[ 0 0 0 11 | 27 ]
```

Теперь мы получили матрицу в ступенчатом виде. Найдем базисное решение системы.

Наша система состоит из 4 неизвестных. Обозначим их x, y, z, w.

Выразим переменные через параметры. В данном случае, параметром будет являться w. То есть w может быть любым значением из множества действительных чисел. Обозначим w = t, где t - параметр.

```
2x + 4y + 2z + 6w = 10
x + 2y - 1z + 5w = 7
0x + 0y + 0z + 11w = 27
```

Из третьего уравнения получаем 0 = 27, что не имеет решений. Это означает, что система несовместна и, соответственно, имеет бесконечное количество решений.

Теперь найдем базисные решения. Базисное решение представляет собой частное решение системы, в котором часть переменных выражена через параметры.

Из второго уравнения получаем x = 7 - 2y + z - 5w. Выражаем остальные переменные через параметр w:

```
x = 7 - 2y + z - 5w
y = y (может быть любым)
z = z (может быть любым)
w = w (параметр)
```

Базисное решение выглядит так: (7 - 2y + z - 5w, y, z, w), где y, z, w - параметры.

Таким образом, размерность линейного пространства решений системы равна 3. Потому что мы имеем 3 параметра в базисном решении.

То есть линейное пространство решений системы имеет размерность 3.